Mesure d'un cône
Bonjour à tous, j'espère que tout le monde va bien.
Est-ce que, par hasard, quelqu'un sait calculer la mesure du cône en rouge ci-dessous ?
Voici un peu plus de détail, je considère la boule $B(0,r)$ et le point $q \notin B(0,r)$. Puis je considère l'hyperplan passant par l'origine, orthogonal à $q$ et intersectant la boule : $\Sigma_{r} = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \mid \langle z, q \rangle = 0 \} \cap B(0,r)$.
J'appelle $C$ le cône engendré par $q$ et $\Sigma_{r}$ et j'ai \[
\mathcal{L}(C) = c_{n}|q|r^{n-1}
\] Avec $c_{n}>0$ une constante qui ne dépend que de la dimension et $\mathcal{L}$ la mesure de Lebesgue.
Voyez-vous comment prouver cela ?
Je vous souhaite une agréable journée.
Est-ce que, par hasard, quelqu'un sait calculer la mesure du cône en rouge ci-dessous ?
Voici un peu plus de détail, je considère la boule $B(0,r)$ et le point $q \notin B(0,r)$. Puis je considère l'hyperplan passant par l'origine, orthogonal à $q$ et intersectant la boule : $\Sigma_{r} = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \mid \langle z, q \rangle = 0 \} \cap B(0,r)$.
J'appelle $C$ le cône engendré par $q$ et $\Sigma_{r}$ et j'ai \[
\mathcal{L}(C) = c_{n}|q|r^{n-1}
\] Avec $c_{n}>0$ une constante qui ne dépend que de la dimension et $\mathcal{L}$ la mesure de Lebesgue.
Voyez-vous comment prouver cela ?
Je vous souhaite une agréable journée.
Réponses
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Ton cône est donc tout simplement le cône de base la boule de dimension $n-1$ de rayon $r$ et de hauteur $|q|$, c'est ça ?
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Bonjour,
Tout à fait. -
Tu peux récupérer ici
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-v2/
l'extrait de la deuxième édition de notre livre "De l'intégration aux probabilités".
Page 94, tu trouveras le calcul du volume du cône en dimension 3.
Il te reste à l'adapter à une dimension quelconque. -
Bonjour à tous.
Merci sincèrement aléa pour votre aide.
Grâce à votre livre, de l'intégration aux probabilités, j'ai compris que je pouvais écrire $\mathcal{C} = C(q,v) := \{ (1-t)q + tu \mid t\in[0;1],~ u \in [B(x,r)\times\{0\} + v] \}$ qui a la même mesure de Lebesgue que $C(q,0)$. Grâce à votre livre à nouveau, j'ai compris comment calculer la mesure de $C(h,0)$ avec $ h :=(0,\ldots,0,|q|)$.
Pour conclure, il reste à prouver que $C(q,0) $ a la même mesure de Lebesgue que $C(h,0)$. Peut-être qu'il existe une matrice orthogonale $A$ tel que $AC(q,0) = C(h,0)$. Si quelqu'un voit comment faire.
Je vous souhaite une excellente journée. -
Voilà où j'en suis ^^.
-
Je dirais qu'en découpant en tranches on a pour le $n$-volume du cône
$$\int_0^{|q|} \left(\frac{tr}{|q|}\right)^{n-1} V_{n-1}\,dt= \dfrac{V_{n-1}}{n} |q|\,r^{n-1}\;,$$
où $V_{n-1}$ est le $n-1$-volume de la boule unité de dimension $n-1$. C'est trop simpliste ? -
Autre methode*: Si $A$ est une partie de $\R^d$ de mesure de Lebesgue $|A|$ considérons le cône $C$ de $\R^{d+1}$ des $x=(x_0,x_1,\ldots,x_d)=t(1,y_1,\ldots,y_d)=t(1,y)$ tels que $0\leq t \leq 1$ et $y\in A.$ Pour calculer le volume $V(C)$ on fait le changement de variable $x\mapsto (t,y)$ dont le Jacobien donne $dx=t^ddtdy.$ D'où $$
V(C)=\int_{C}dx=\int_{[0,1]\times A}t^ddtdy=\frac{|A|}{d+1}.
$$ * Pas si différente de celle de GBZM. -
Plus sioux : calculer le volume total du "cornet de glace" formé par la boule union l'intérieur du cône tangent à la sphère de sommet $q$.
-
Soit $\mathcal{C} = C(q,v) := \{ (1-t)q + tu \mid t\in[0;1],~ u \in [B(x,r)\times\{0\} + v] \}$ un cône qui a la même mesure de Lebesgue que $C(q,0)$. Je sais calculer la mesure de Lebesgue $C(h,0)$ avec $ h :=(0,\ldots,0,|q|)$.
Question : Comment passer de $C(q,0)$ à $C(h,0)$ sans changer la mesure de Lebesgue ?
La mesure de Lebesgue est invariante par transformations orthogonale. Et il existe une matrice orthogonale $P$ tel que $Ph =q$. Toutefois $PC(q,0) \ne C(h,0)$. D'ailleurs ce n'est même plus un cône dont la base est une section de boule.
Avez vous des idées ?
Je vous souhaite un excellent dimanche. -
Il me semble que la même technique s'applique: on écrit $q=(q_0,q_h)$, $u=(u_0,u_h)$, avec la première coordonnée de dimension $d-1$, la dernière de dimension $1$.
On a aussi $(u_0,u_h)=(v_0,v_q)+(w,0)$ avec $w$ dans $B(x,r)$
Maintenant à $z$ réel fixé, il existe au plus un $t$ dans $[0,1]$ tel que le point $(1-t)q_h+tv_q=z$, de la sorte la tranche de hauteur $z$, si elle n'est pas vide, est encore une boule de dimension $d-1$ puisque c'est l'image par une transformation affine de la boule $B(x,r)$. On peut bien sûr calculer son volume. -
J'ai l'impression que vous prouvez que $|C(q,v)| = |C(q,0)|$. Ici je réfléchissais plutôt $|C(q,0)|=|C(h,0)|$.
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Bonjour!
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