Une urne pas comme les autres !

gebrane
gebrane
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour

Je sollicite votre aide pour résoudre ce problème qu'on m'a proposé.
Toute aide ou remarque ou solution sera la bienvenue.
Merci87454
Le 😄 Farceur


Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Si $\Delta =ad-bc=0$ et $b=d$ alors $S$ admet une infinité de solutions
    Si $\Delta =ad-bc=0$ et $b\neq d$ alors $S$ admet aucune solution
    Si $\Delta =ad-bc\neq 0$ alors $S$ admet une seule solution
    Je ne vois pas comment trouver toutes les solutions possibles de l’équation : $$

    ad=bc \text{ avec }

    a,b,c,d \text{ distincts dans } \{1,2,\ldots,2018\} $$
    Le 😄 Farceur


  • Siméon
    Siméon
    Cher gebrane, il s'agit de voir si deux segments s'intersectent. Un croquis de ces deux segments pourrait sans doute t'aider à déterminer une condition très simple sur (a,b,c,d)
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Cher Siméon

    Si l'urne contient un nombre petit, le calcul des possibilités est simple
    voir par exemple ces exos classiques
    https://www.ilemaths.net/sujet-les-droites-et-les-probabilites-463148.html
    https://www.ilemaths.net/sujet-probabilites-et-solutions-d-un-systeme-d-equations-lineaires-285862.html
    La méthode analytique ou géométrique donne les même conditions. Les deux droites sont sécantes si elle n'ont pas le même coefficient directeur c'est-à-dire si $a/b \neq c/d$. Après, je n'arrive pas à calculer exactement le nombre de possibilités.
    Le 😄 Farceur


  • lourrran
    lourrran
    Si je comprends bien l'énoncé, on demande dans quels cas le système d'équation admet un couple (x,y) comme solution, avec en plus comme restriction x>0 et y>0.
    Les 2 droites 'sécantes', ce n'est donc pas suffisant.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gebrane
    gebrane
    @lourrran

    Qui a dit que c'est suffisant !, c'est un début pour attaquer la question
    Le 😄 Farceur


  • Siméon
    Siméon
    As-tu représenté les deux segments ? En tout cas, tu n'as pas compris que ce que je te suggère est une solution très rapide du problème (sans calcul).
  • gebrane
    gebrane
    Cher Siméon

    Je ne vois pas ta solution rapide et je ne sais comment représenter les deux segments puisque les a,b,c,d sont aléatoires
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    @Siméon donne moi un délai jusqu’à la nuit, ne dit rien avant :-)
    Je m'arrache les cheveux !
    Est-ce que quelqu'un a assimilé la vision de Siméon
    Le 😄 Farceur


  • ev
    ev
    Gebrane a écrit:
    Est-ce que quelqu'un a assimilé la vision de Siméon

    Sea ! mise !
    (équation aux intersections)

    amicalement,

    e;v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • gebrane
    gebrane
    Je vois une parcelle de lumière, je tente ceci
    D’après le système a et c jouent des rôles symétriques de même que b et d
    D’après le dessin ci dessous si c>a, il y a une solution interne si d<b
    Apres je médite :-D87498
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Bon Bon Bon!
    Soit les événements
    A: " c>a" et B: "d<b" , C:"c<a" , D:"d>b"
    La probabilité cherchée est $ P((A\cap B)\cup (C\cap D)$ ?
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Si ce qui a été dit est juste, comment calculer par exemple $P(A\cap B)$
    Un vrai casse tète ( d’après l’expérience, les événements sont dépendants)
    je tente de calculer $P(A)$
    Si a=1, le b vient après et il y a 2016 possibilité pour c
    Si a=2, le b vient après mais
    si b $\neq 1$ il y a 2015 possibilité pour c
    si b = 1 il y a 2016 possibilité pour c
    .
    .
    .
    Si a=2017, le b vient après , mais alors
    si b $\neq$ 2018 et il y a 1 possibilité pour c
    si b = 2018 et il y a 0 possibilité pour c
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    @Cher Siméon
    Puis-je voir ta solution
    Merci
    Le 😄 Farceur


  • Math Coss
    Math Coss
    On tire un quadruplet $(a,b,c,d)$ d'entiers distincts de $\{1,\dots,2018\}$ (un arrangement, quoi). On peut montrer que l'ordre dans lequel les entiers sont rangés suit une loi uniforme sur le groupe des permutations de $\{a,b,c,d\}$ : par exemple, la probabilité pour que $a<c<b<d$ est $1/24$. On peut alors regarder dans chaque cas si les deux segments que tu as tracés se coupent.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Math Coss

    En proba, je sens que j'ai la tête dans les nuages; Il m'arrive fréquemment de ne pas avoir le réflexe qu'il faut.
    Merci pour ta remarque, peux-tu me donner la valeur de la proba qu'on cherche pour vérification ?

    J'ai un paradoxe; d’après la méthode géométrique de Siméon, une condition pour avoir une solution interne dans le premier quadrant est que c-a et b-d doivent avoir le même signe

    Mais d’après la méthode analytique du lien MSE que j'ai donné, une condition pour avoir une solution interne dans le premier quadrant est que c-a , b-d , bc-ad doivent avoir le même signe

    d'où vient cette différence entre les deux méthodes ?
    Le 😄 Farceur


  • Siméon
    Siméon
    Cher gebrane, c'est bon pour le dessin et la condition. Pour ton paradoxe, tu peux en fait vérifier que si $a,b,c,d$ sont trois réels positifs tels que $c-a$ et $b-d$ sont de même signe, alors $bc - ad = (b-d)c + (c-a)d$ est aussi de même signe.

    L'invariance en loi de $(a,b,c,d)$ par permutations entraîne ensuite sans calcul que la probabilité cherchée est $\frac12$. Je te laisse mettre au point les détails.
  • gebrane
    gebrane
    égalité magique $bc - ad = (b-d)c + (c-a)d$
    Merci Cher Simeon d'avoir résolu mon paradoxe et ma question . Le nombre 2018 est trompeur ! Quelque soit la contenance de l'urne > 4, la proba cherchée est 1/2 à méditer
    Merci infiniment
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Pour me convaincre que la proba 1/2 de Simeon ne dépend pas de la contenance (>3) de l'urne
    j'ai pris deux exemples
    Si l'urne contient les 4 chiffres 1,2,3,4 la proba cherchée est $\frac {12}{4!}=\frac 12$
    le 12 vient des situations favorables pour (a,b,c,d)
    à savoir:
    (1,4,2,3);(1,4,3,2);(1,3,4,2);(2,4,3,1);(2,3,4,1);(3,2,4,1)
    (2,3,1,4);.........................................................;(4,3,1,2)
    Si l'urne contient les 5 chiffres 1,2,3,4,5 la proba cherchée est $\frac {60}{A^4_5}=\frac 12$

    Les proba. se basent sur l'intuition, les gens trop analytiques ( comme moi) et qui veulent comprendre tous par les calculs n'ont pas leurs places parmi les probabilistes

    ( de passage je salue cc qui privilège l'intuition)
    Le 😄 Farceur


  • Siméon
    Siméon
    Je ne pense pas que ce domaine se démarque du reste des mathématiques en ce qui concerne l'intuition. Les résultats de probabilités s'établissent analytiquement par des calculs et des démonstrations tout aussi rigoureusement qu'ailleurs. L'intuition est seulement utile pour guider le raisonnement, comme partout. Mais peut-être n'était-ce pas ce que tu voulais signifier.

    Désolé si ce sont mes indications qui t'ont donné cette impression. Elles pourraient se formaliser mais je cherchais juste à te mettre sur la piste pour que tu trouves seul.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Simeon

    Au sujet de l'intuition, je visais le constat suivant. Si on relis
    mes messages
    , j’étais affolé par la contenance de l"urne ( 2018 nombres!). Mais ton intuition t'a permet de comprendre que c’était uniquement pour le décors et que la question peut se traiter sans calculs.
    De ma part, j’étais figé sur le déterminant de S: ad-bc qui ne joue aucun rôle d’après ton égalité. Ton indication "que je n'avais pas compris des le début : le nombre 2018 me hantait " était décisive pour le reste

    Si on regarde les autres quadrants, mon intuition sans calculs me dit que la proba devient 1/4 sur le deuxième quadrant, nulle sur le troisième quadrant et égale à 1/4 pour le quatrième quadrant
    Le 😄 Farceur


  • lourrran
    lourrran
    Proba nulle pour le 3ème quadrant, oui. Si x et y sont négatifs , ax+by n'a aucune chance d'être égal à ab.
    Même proba pour le 2ème quadrant et le 4ème quadrant : oui, c'est évident.
    Et donc proba 1/4 pour les 2ème et 4ème quadrants.

    SAUF que, dans le plan, il y a les 4 quadrants , mais aussi les 4 axes, et il y a aussi les cas où le système n'a pas de solution.
    Par exemple si a=1, b quelconque, c quelconque, d=bc, le système n'a pas de solution.

    Donc la somme des 4 quadrants doit donner moins de 1 ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gebrane
    gebrane
    Le solutions de S ne peuvent pas être sur les axes car les a,b,c,d sont distincts deux à deux !
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Maintenant, une question ( je la sens très difficile )
    Quelle est la probabilité que le système S ait une solution sur le disque D(0,R) ( on peut prendre R=2018:-D)
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Une réponse à la question initiale avec le calcul des possibilités est donnée sur MSE
    Le 😄 Farceur


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