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Une urne pas comme les autres !
Bonjour
Je sollicite votre aide pour résoudre ce problème qu'on m'a proposé.
Toute aide ou remarque ou solution sera la bienvenue.
Merci
Signature:
“En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux.”
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane.
Si $\Delta =ad-bc=0$ et $b=d$ alors $S$ admet une infinité de solutions
Si $\Delta =ad-bc=0$ et $b\neq d$ alors $S$ admet aucune solution
Si $\Delta =ad-bc\neq 0$ alors $S$ admet une seule solution
Je ne vois pas comment trouver toutes les solutions possibles de l’équation : $$
ad=bc \text{ avec }
a,b,c,d \text{ distincts dans } \{1,2,\ldots,2018\} $$
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Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Cher gebrane, il s'agit de voir si deux segments s'intersectent. Un croquis de ces deux segments pourrait sans doute t'aider à déterminer une condition très simple sur (a,b,c,d)
Bonjour Cher Siméon
Si l'urne contient un nombre petit, le calcul des possibilités est simple
voir par exemple ces exos classiques
[ www.ilemaths.net]
[ www.ilemaths.net]
La méthode analytique ou géométrique donne les même conditions. Les deux droites sont sécantes si elle n'ont pas le même coefficient directeur c'est -à-dire si $a/b \neq c/d$. Après, je n'arrive pas à calculer exactement le nombre de possibilités.
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Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Si je comprends bien l'énoncé, on demande dans quels cas le système d'équation admet un couple (x,y) comme solution, avec en plus comme restriction x>0 et y>0.
Les 2 droites 'sécantes', ce n'est donc pas suffisant.
@lourrran
Qui a dit que c'est suffisant !, c'est un début pour attaquer la question
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As-tu représenté les deux segments ? En tout cas, tu n'as pas compris que ce que je te suggère est une solution très rapide du problème (sans calcul).
Cher Siméon
Je ne vois pas ta solution rapide et je ne sais comment représenter les deux segments puisque les a,b,c,d sont aléatoires
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@Siméon donne moi un délai jusqu’à la nuit, ne dit rien avant 
Je m'arrache les cheveux !
Es t-ce que quelqu'un a assimilé la vision de Siméon
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Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Citation
Gebrane
Est-ce que quelqu'un a assimilé la vision de Siméon
Sea ! mise !
(équation aux intersections)
amicalement,
e;v.
Je vois une parcelle de lumière, je tente ceci
D’après le système a et c jouent des rôles symétriques de même que b et d
D’après le dessin ci dessous si c>a, il y a une solution interne si d<b
Apres je médite 
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Bon Bon Bon!
Soit les événements
A: " c>a" et B: "d<b" , C:"c<a" , D:"d>b"
La probabilité cherchée est $ P((A\cap B)\cup (C\cap D)$ ?
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Si ce qui a été dit est juste, comment calculer par exemple $P(A\cap B)$
Un vrai casse tète ( d’après l’expérience, les événements sont dépendants)
je tente de calculer $P(A)$
Si a=1, le b vient après et il y a 2016 possibilité pour c
Si a=2, le b vient après mais
si b $\neq 1$ il y a 2015 possibilité pour c
si b = 1 il y a 2016 possibilité pour c
.
.
.
Si a=2017, le b vient après , mais alors
si b $\neq$ 2018 et il y a 1 possibilité pour c
si b = 2018 et il y a 0 possibilité pour c
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Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane.
@Cher Siméon
Puis-je voir ta solution
Merci
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On tire un quadruplet $(a,b,c,d)$ d'entiers distincts de $\{1,\dots,2018\}$ (un arrangement, quoi). On peut montrer que l'ordre dans lequel les entiers sont rangés suit une loi uniforme sur le groupe des permutations de $\{a,b,c,d\}$ : par exemple, la probabilité pour que $a<c<b<d$ est $1/24$. On peut alors regarder dans chaque cas si les deux segments que tu as tracés se coupent.
Bonjour Math Coss
En proba, je sens que j'ai la tête dans les nuages; Il m'arrive fréquemment de ne pas avoir le réflexe qu'il faut.
Merci pour ta remarque, peux-tu me donner la valeur de la proba qu'on cherche pour vérification ?
J'ai un paradoxe; d’après la méthode géométrique de Siméon, une condition pour avoir une solution interne dans le premier quadrant est que c-a et b-d doivent avoir le même signe
Mais d’après la méthode analytique du lien MSE que j'ai donné, une condition pour avoir une solution interne dans le premier quadrant est que c-a , b-d , bc-ad doivent avoir le même signe
d'où vient cette différence entre les deux méthodes ?
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Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane.
Cher gebrane, c'est bon pour le dessin et la condition. Pour ton paradoxe, tu peux en fait vérifier que si $a,b,c,d$ sont trois réels positifs tels que $c-a$ et $b-d$ sont de même signe, alors $bc - ad = (b-d)c + (c-a)d$ est aussi de même signe.
L'invariance en loi de $(a,b,c,d)$ par permutations entraîne ensuite sans calcul que la probabilité cherchée est $\frac12$. Je te laisse mettre au point les détails.
égalité magique $bc - ad = (b-d)c + (c-a)d$
Merci Cher Simeon d'avoir résolu mon paradoxe et ma question . Le nombre 2018 est trompeur ! Quelque soit la contenance de l'urne > 4, la proba cherchée est 1/2 à méditer
Merci infiniment
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Pour me convaincre que la proba 1/2 de Simeon ne dépend pas de la contenance (>3) de l'urne
j'ai pris deux exemples
Si l'urne contient les 4 chiffres 1,2,3,4 la proba cherchée est $\frac {12}{4!}=\frac 12$
le 12 vient des situations favorables pour (a,b,c,d)
à savoir:
(1,4,2,3);(1,4,3,2);(1,3,4,2);(2,4,3,1);(2,3,4,1);(3,2,4,1)
(2,3,1,4);.........................................................;(4,3,1,2)
Si l'urne contient les 5 chiffres 1,2,3,4,5 la proba cherchée est $\frac {60}{A^4_5}=\frac 12$
Les proba. se basent sur l'intuition, les gens trop analytiques ( comme moi) et qui veulent comprendre tous par les calculs n'ont pas leurs places parmi les probabilistes
( de passage je salue cc qui privilège l'intuition)
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Je ne pense pas que ce domaine se démarque du reste des mathématiques en ce qui concerne l'intuition. Les résultats de probabilités s'établissent analytiquement par des calculs et des démonstrations tout aussi rigoureusement qu'ailleurs. L'intuition est seulement utile pour guider le raisonnement, comme partout. Mais peut-être n'était-ce pas ce que tu voulais signifier.
Désolé si ce sont mes indications qui t'ont donné cette impression. Elles pourraient se formaliser mais je cherchais juste à te mettre sur la piste pour que tu trouves seul.
Bonjour Simeon
Au sujet de l'intuition, je visais le constat suivant. Si on relis
mes messages
, j’étais affolé par la contenance de l"urne ( 2018 nombres!). Mais ton intuition t'a permet de comprendre que c’était uniquement pour le décors et que la question peut se traiter sans calculs.
De ma part, j’étais figé sur le déterminant de S: ad-bc qui ne joue aucun rôle d’après ton égalité. Ton indication "que je n'avais pas compris des le début : le nombre 2018 me hantait " était décisive pour le reste
Si on regarde les autres quadrants, mon intuition sans calculs me dit que la proba devient 1/4 sur le deuxième quadrant, nulle sur le troisième quadrant et égale à 1/4 pour le quatrième quadrant
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Proba nulle pour le 3ème quadrant, oui. Si x et y sont négatifs , ax+by n'a aucune chance d'être égal à ab.
Même proba pour le 2ème quadrant et le 4ème quadrant : oui, c'est évident.
Et donc proba 1/4 pour les 2ème et 4ème quadrants.
SAUF que, dans le plan, il y a les 4 quadrants , mais aussi les 4 axes, et il y a aussi les cas où le système n'a pas de solution.
Par exemple si a=1, b quelconque, c quelconque, d=bc, le système n'a pas de solution.
Donc la somme des 4 quadrants doit donner moins de 1 ?
Le solutions de S ne peuvent pas être sur les axes car les a,b,c,d sont distincts deux à deux !
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Maintenant, une question ( je la sens très difficile )
Quelle est la probabilité que le système S ait une solution sur le disque D(0,R) ( on peut prendre R=2018 )
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Une réponse à la question initiale avec le calcul des possibilités est donnée sur MSE
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©Emmanuel
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