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Convergence presque sûre et non indépendance

Envoyé par Halback 
Convergence presque sûre et non indépendance
l’an passé
Bonjour

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires non nécessairement indépendantes prenant leurs valeurs dans $\{0,1\}$.
Y a-t-il équivalence entre $X_n$ tend vers 0 presque sûrement et $P(X_n=1)$ tend vers 0 ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Convergence presque sure et non indépendance
l’an passé
Non. Par exemple si $\mathbb P(X_n = 1) = \frac{1}{n}$ et $(X_n)_n$ sont indépendantes, le théorème de Borel-Cantelli te dit que $X_n=1$ se produit une infinité de fois presque sûrement, et en particulier $(X_n)_n$ ne converge pas vers $0$ presque sûrement.

Par contre si $(X_n)_n$ converge vers $0$ presque sûrement, alors $\mathbb P(X_n=0)=1$ à partir d'un certain rang et donc $(\mathbb P(X_n=1))_n$ converge bien vers $0$.
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