Fonction caractéristique et voisinage de 0

carle1
carle1
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Soit $X$ une v.a dont la fonction caractéristique vérifie : $$
\exists \delta>0,~\forall x \in [-\delta,\delta],~\varphi_X(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}.

$$ Vérifier que $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(0,1).$

$\varphi_X$ est la fonction caractéristique de la gaussienne sur un voisinage de 0, alors comment étendre le résultat sur $\mathbb{R}~?$ (i.e $\forall x \in \mathbb{R},~\varphi_X(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$)
Merci.

Réponses

  • callipiger
    callipiger
    Bonsoir,
    la donnée de la fonction caractéristique sur un voisinage donne les moments, qui donne la variable aléatoire.
    bonne nuit.
  • P.
    P.
    Hum, les moments peuvent ne pas exister et on connait des paires de fc qui coincident au voisinage de 0 et ne sont pas egales. Hum, on connait des paires de lois de va qui ont meme moments et ne sont pas egales. Ici, il faut utiliser le fait que la restriction a$[ -\delta,\delta]$ est aussi la restriction d'une fonction analytique. C'est bien detaille dans le chapitre 7 de Lukacs, Fonctions caracteristiques, Dunod 1964
  • callipiger
    callipiger
    les fonctions réelles analytiques... hum ok.
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