Loi de densité conjointe
Salut à tous les matheux du forum. Quelqu'un peut-il m'aider avec ce exercice? A partir de Question 2. Merci
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Réponses
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[Inutile d'ouvrir un autre sujet pour poser la même question. Poirot]
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires réelles positives indépendantes dotées d'une même densité continue $\varphi,\: $ et $Z = \dfrac YX.$
$\forall a,b \in \R^+,\quad F(a,b) := \Pr \Big[ (X\leqslant a)\cap (Z\leqslant b)\Big].\quad$ Alors: $\displaystyle F(a,b) = \int_0^a \varphi(t)\left(\int_ 0^{bt} \varphi \right)\mathrm dt.$
$f$ désignant la densité de la loi conjointe de $(X,Z)$, on a: $\forall x,z \in \R^+,\quad f(x,z) = \dfrac {\partial ^2 F}{\partial a \partial b} (x,z) =x\: \varphi(x)\: \varphi(xy)$.
Cette égalité, appliquée à la fonction $\varphi: \: x \mapsto \lambda \mathrm e^{-\lambda x}$, donne : $$
\boxed{\forall x,z \in \R, \quad f(x,z) = \left\{ \begin {array} {cl} \lambda^2 x \:\mathrm e^{- \lambda x(1+z)}& \text{si} \:(x,z) \in (\R^+)^2.\\ 0 & \text{sinon.} \end {array} \right.}
$$ Soit $\psi$ la densité de $Z.\quad \forall z \in \R^+,\quad \psi(z) = \displaystyle \int _0^{+\infty} f(x,z)\: \mathrm dx .$ $$
\boxed { \forall z \in \R,\quad \psi(z) = \left\{ \begin{array} {cl} \dfrac 1 {(1+z)^2}& \text{si}\: x\geqslant 0 .\\ 0 & \text{sinon}.\end{array} \right . }
$$ $\mathbb E \big[(1+Z)^{\alpha}\big]$ existe si et seulement si $\displaystyle \int_0^{+\infty} (1+z)^{\alpha - 2 } \:\mathrm dz\:$ converge, c'est à dire si $\alpha<1$. Dans ces conditions: $$ \boxed { \mathbb E[ (1+Z)^{\alpha} ]= \dfrac1 {1-\alpha}. }
$$ Au terme d'un calcul où la probabilité d'une erreur n'est pas mince, j'ai trouvé que:
$$\boxed{\forall \alpha<1,\quad \mathrm{Cov} \left( X, (1+Z)^{\alpha} \right) =\mathbb E\big[X (1+Z)^{\alpha}\big] -\mathbb E[X]. \mathbb E\big[(1+Z)^{\alpha}\big]= \dfrac {-\alpha}{\lambda(1-\alpha)(2-\alpha)}.}$$