Distinction impossible/presque impossible
Bonjour,
on dit généralement que $\varnothing $ est l'événement impossible, de probabilité 0, et qu'un événement de probabilité nulle s'appelle événement presque impossible.
Je lance une pièce jusqu'à obtenir face. Je considère donc l'espace $\Omega = \{ F, PF, PPF, \ldots\}\cup\{ PPP\ldots \}$,
et { PPP.. } est un événement presque impossible. Soit maintenant $X : \Omega \mapsto \N \cup \{\infty\}$ la variable aléatoire telle que
$X(F) = 1, ~X(PF) = 2,~\ldots,~ X(PPP\ldots) = \infty$.
Les événements $\{0\}$ et $\{\infty \}$ sont alors tous deux presque impossibles et à ma connaissance, on ne fait aucune différence qualitative entre les deux. Pourtant, il me semble que $\{0\}$ est impossible comme $\varnothing $, au sens où il ne peut formellement se produire, contrairement à $\{\infty \}$ ?
Qu'en pensez-vous ?
on dit généralement que $\varnothing $ est l'événement impossible, de probabilité 0, et qu'un événement de probabilité nulle s'appelle événement presque impossible.
Je lance une pièce jusqu'à obtenir face. Je considère donc l'espace $\Omega = \{ F, PF, PPF, \ldots\}\cup\{ PPP\ldots \}$,
et { PPP.. } est un événement presque impossible. Soit maintenant $X : \Omega \mapsto \N \cup \{\infty\}$ la variable aléatoire telle que
$X(F) = 1, ~X(PF) = 2,~\ldots,~ X(PPP\ldots) = \infty$.
Les événements $\{0\}$ et $\{\infty \}$ sont alors tous deux presque impossibles et à ma connaissance, on ne fait aucune différence qualitative entre les deux. Pourtant, il me semble que $\{0\}$ est impossible comme $\varnothing $, au sens où il ne peut formellement se produire, contrairement à $\{\infty \}$ ?
Qu'en pensez-vous ?
Réponses
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C'est toi qui ne respecte pas ta propre terminologie. Tu désignes par impossible l'événement vide, puis tu dis que $\{X=0\}$ est seulement "presque impossible", alors que c'est le vide !
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Oui, d'accord, mais ne puis-je pas considérer que $\N \cup \{\infty \}$ est un espace de probabilité, et que $\{0\}$, non vide, est de probabilité nulle, autrement dit qu'il est presque impossible mais non impossible, alors que par construction à partir de l'espace de probabilité de base, il ne peut "matériellement" pas se produire ?
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Tu confonds $\{0\}$ et $\{X=0\}$. Le premier est une partie de $\mathbb N$, qui n'a pas grand-chose à voir avec la situation, et le second est une partie de $\Omega$, l'espace de probabilité.
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Au passage, cette description ne fournit pas d'espace probabilisé : on a un ensemble $\Omega$ mais on n'a pas de probabilité sur cet ensemble (plus précisément, sur la tribu des parties de cet ensemble).
L'événement $\{X=0\}$ est l'ensemble vide (sa probabilité est nulle) ; l'événement $\{X=\infty\}$ est le singleton $\{PPPP\cdots\}$ (bien difficile de savoir quelle est sa probabilité). -
OK, merci Poirot.
J'avais toujours pensé qu'étant donné un espace probabilisé (G, T, p), un espace mesurable (H, S), une application X : G $\rightarrow $ H vérifiant X-1(S) $\subset $ T, on pouvait définir un espace probabilisé (H, S, q) avec q : S $\rightarrow $ R, k $\mapsto $ p (X-1(k)),
mais apparemment à tort. -
Bah si, tu peux faire ça, mais quel rapport avec ta question ?
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Oui on peut.GG a écrit:J'avais toujours pensé qu'étant donné un espace probabilisé (G, T, p) , un espace mesurable (H, S), une application $X:G\to H$ vérifiant $X^{-1}(S) \subseteq T$ on pouvait définir un espace probabilisé (H, S, q) avec $q:S\to \R, k \mapsto p(X^{-1}(k))$
Un espace probabilisé est simplement un triplet $(A,B,P)$ avec $B$ une tibu sur $A$ et $P:B\to \R$ une mesure positive telle que $P(A)=1$. Ta construction est celle de la mesure image d'une mesure par une application mesurable. Ladite mesure est bien sûr encore positive et envoie tout l'espace sur $1$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Pour moi, une variable aléatoire est une sorte de morphisme entre deux espaces probabilisés. Si je lance un dé, je définis l'espace probabilisé (A, $\mathcal{P} $(A), p) avec A = {face1, face2, ..}, p(face1) = 1/6, etc. Mais je peux aussi considérer l'espace (B, $\mathcal {B}$, q) avec B = {pair, impair}, q(pair) = 1/2, ..
Ces deux espaces sont deux faces d'une même expérience aléatoire, reliées par la va X(face1) = impair, ..
On peut dire aussi que le deuxième espace est "isomorphe" au lancer d'une pièce ({pile, face}, ...).
De même le premier est "isomorphe" à ( [1,6], ... ), mais il y a seulement un morphisme non surjectif avec (N, ...). Ce qui me chiffonne, c'est que la proba de 8 par exemple est nulle, mais que c'est une sorte d'événement impossible. Bref, je ne suis pas sûr de m'exprimer clairement, et ma question n'a peut-être pas de sens :-)
Merci à vous trois. -
J'ai enfin trouvé mon bonheur dans ces notes de cours de Tao glanées sur le net. C'est d'un niveau beaucoup trop élevé pour moi, mais dans le premier paragraphe, "Foundations" il introduit le concept d'extension d'un espace probabilisé qui est exactement ce que je cherchais obscurément depuis longtemps, ainsi que celui de notion probabiliste préservée par extension. Dans les commentaires, le 21 janvier 2010, un certain David Speyer demande pourquoi dans la definition de l'extension, Tao exige la surjectivité de l'application $\pi $. Tao lui répond que c'est pour préserver la notion de "presque certain. (En effet, si $\pi $ n'était pas surjective, l'image de l'événement (quand c'en est un) presque certain im $\pi $ par $\pi$ -1 serait l'événement certain). À moins sens, il aurait pu rajouter que pour assurer comme il dit dans le premier paragraphe "que tout événement E de l'espace probabilisé est ainsi canoniquement identifié à l'événement de l'extension $\pi $-1(E) de même probabilité", il faut que $\pi $-1 soit injective, donc que $\pi $ soit surjective.
Ainsi, contrairement à mon souhait antérieur, un espace probabilisé n'est pas une extension de l'espace d'arrivée d'une variable aléatoire lorsqu'elle n'est pas surjective. -
Je m'excuse de venir dans votre discussion pure maths. J'ai une question pratique. Nous, les statisticiens, on a parfois les cas "presque impossibles". Par exemple des cheminées dans les appartements et utilisation de bois de cheminée. Impossible? Preeeeeeesque. Dans les anciens immeubles haussmanniens c'est possible, j'ai même 2 amis à Paris sont dans ce cas là.
Comment modélisez-vous ce genre de probabilité "presque impossible"? Loi d'extremum généralisé (I, II et II) sont utilisées dans notre domaine (par exemple la distribution des revenus des ménages), mais c'est pour les variables continues qui sont utilisées comme input dans le modèle statistique. Les cas "presque impossible' sont intéressants à étudier (p.ex. nouvelles technologie très peu présente sur le marché). Imaginons qu'on veut modéliser la probabilité d'avoir l'une des 5 technologies chez soi (T1 avec p1, T2 avec p2, T3 : p3, T4 : p4, T5 : p5 et somme des p égale 1), on a assez des données pour le cas extrême (100 observation sur 100 000). Logit/Probit multinomial n'est pas une solution parce qu'il n'arriver pas à faire les estimation pour le cas rare. Savez vous s'il y a quelque chose adaptée à ce genre de situation?
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