Distinction impossible/presque impossible
Bonjour,
on dit généralement que $\varnothing $ est l'événement impossible, de probabilité 0, et qu'un événement de probabilité nulle s'appelle événement presque impossible.
Je lance une pièce jusqu'à obtenir face. Je considère donc l'espace $\Omega = \{ F, PF, PPF, \ldots\}\cup\{ PPP\ldots \}$,
et { PPP.. } est un événement presque impossible. Soit maintenant $X : \Omega \mapsto \N \cup \{\infty\}$ la variable aléatoire telle que
$X(F) = 1, ~X(PF) = 2,~\ldots,~ X(PPP\ldots) = \infty$.
Les événements $\{0\}$ et $\{\infty \}$ sont alors tous deux presque impossibles et à ma connaissance, on ne fait aucune différence qualitative entre les deux. Pourtant, il me semble que $\{0\}$ est impossible comme $\varnothing $, au sens où il ne peut formellement se produire, contrairement à $\{\infty \}$ ?
Qu'en pensez-vous ?
on dit généralement que $\varnothing $ est l'événement impossible, de probabilité 0, et qu'un événement de probabilité nulle s'appelle événement presque impossible.
Je lance une pièce jusqu'à obtenir face. Je considère donc l'espace $\Omega = \{ F, PF, PPF, \ldots\}\cup\{ PPP\ldots \}$,
et { PPP.. } est un événement presque impossible. Soit maintenant $X : \Omega \mapsto \N \cup \{\infty\}$ la variable aléatoire telle que
$X(F) = 1, ~X(PF) = 2,~\ldots,~ X(PPP\ldots) = \infty$.
Les événements $\{0\}$ et $\{\infty \}$ sont alors tous deux presque impossibles et à ma connaissance, on ne fait aucune différence qualitative entre les deux. Pourtant, il me semble que $\{0\}$ est impossible comme $\varnothing $, au sens où il ne peut formellement se produire, contrairement à $\{\infty \}$ ?
Qu'en pensez-vous ?
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Réponses
L'événement $\{X=0\}$ est l'ensemble vide (sa probabilité est nulle) ; l'événement $\{X=\infty\}$ est le singleton $\{PPPP\cdots\}$ (bien difficile de savoir quelle est sa probabilité).
J'avais toujours pensé qu'étant donné un espace probabilisé (G, T, p), un espace mesurable (H, S), une application X : G $\rightarrow $ H vérifiant X-1(S) $\subset $ T, on pouvait définir un espace probabilisé (H, S, q) avec q : S $\rightarrow $ R, k $\mapsto $ p (X-1(k)),
mais apparemment à tort.
Un espace probabilisé est simplement un triplet $(A,B,P)$ avec $B$ une tibu sur $A$ et $P:B\to \R$ une mesure positive telle que $P(A)=1$. Ta construction est celle de la mesure image d'une mesure par une application mesurable. Ladite mesure est bien sûr encore positive et envoie tout l'espace sur $1$.
Ces deux espaces sont deux faces d'une même expérience aléatoire, reliées par la va X(face1) = impair, ..
On peut dire aussi que le deuxième espace est "isomorphe" au lancer d'une pièce ({pile, face}, ...).
De même le premier est "isomorphe" à ( [1,6], ... ), mais il y a seulement un morphisme non surjectif avec (N, ...). Ce qui me chiffonne, c'est que la proba de 8 par exemple est nulle, mais que c'est une sorte d'événement impossible. Bref, je ne suis pas sûr de m'exprimer clairement, et ma question n'a peut-être pas de sens :-)
Merci à vous trois.
Ainsi, contrairement à mon souhait antérieur, un espace probabilisé n'est pas une extension de l'espace d'arrivée d'une variable aléatoire lorsqu'elle n'est pas surjective.
Comment modélisez-vous ce genre de probabilité "presque impossible"? Loi d'extremum généralisé (I, II et II) sont utilisées dans notre domaine (par exemple la distribution des revenus des ménages), mais c'est pour les variables continues qui sont utilisées comme input dans le modèle statistique. Les cas "presque impossible' sont intéressants à étudier (p.ex. nouvelles technologie très peu présente sur le marché). Imaginons qu'on veut modéliser la probabilité d'avoir l'une des 5 technologies chez soi (T1 avec p1, T2 avec p2, T3 : p3, T4 : p4, T5 : p5 et somme des p égale 1), on a assez des données pour le cas extrême (100 observation sur 100 000). Logit/Probit multinomial n'est pas une solution parce qu'il n'arriver pas à faire les estimation pour le cas rare. Savez vous s'il y a quelque chose adaptée à ce genre de situation?