T-invariance et mesure.
Bonjour,
Lors de la lecture d'une démonstration, je suis tombé sur l'implication suivante que je n'arrive pas à démontrer rigoureusement :
On se place dans un espace proba $(X,S,\mu)$ muni d'une transformation $T$ et $f$ une fonction mesurable.
Particulièrement, si vous saviez démontrer que $ \{x\in X : f(x)\geq a \} = T^{-1}(\{x\in X : f(x)\geq a \}) \ \ \forall a \in \mathbb{R}\cup \infty$ implique que $\forall E \in S, \ f^{-1}(E) \in Iv$ avec $Iv$ la tribu engendrée par les parties T-invariantes de $X$
J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
Lors de la lecture d'une démonstration, je suis tombé sur l'implication suivante que je n'arrive pas à démontrer rigoureusement :
On se place dans un espace proba $(X,S,\mu)$ muni d'une transformation $T$ et $f$ une fonction mesurable.
$ \{x\in X : f(x)\geq a \} = T^{-1}(\{x\in X : f(x)\geq a \}) \ \ \forall a \in \mathbb{R}\cup \infty$ donc $ f\circ T = f $
Particulièrement, si vous saviez démontrer que $ \{x\in X : f(x)\geq a \} = T^{-1}(\{x\in X : f(x)\geq a \}) \ \ \forall a \in \mathbb{R}\cup \infty$ implique que $\forall E \in S, \ f^{-1}(E) \in Iv$ avec $Iv$ la tribu engendrée par les parties T-invariantes de $X$
J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
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Réponses
$\{x\in X :f(x)\geq a \} = \{x\in X : f(T(x))\geq a \}$ pour tout $a$ réel.
au mieux j'ai :
$\{x\in X : f(x)\geq a \} = \{T(x)\in X : f(T(x))\geq a \}$
Il y a probablement quelque chose d'évident que je ne vois pas mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus.
Merci Poirot :-) (et aléa)