T-invariance et mesure.

Nicolaz · June 2019

Bonjour,
Lors de la lecture d'une démonstration, je suis tombé sur l'implication suivante que je n'arrive pas à démontrer rigoureusement :

On se place dans un espace proba $(X,S,\mu)$ muni d'une transformation $T$ et $f$ une fonction mesurable.

$ \{x\in X : f(x)\geq a \} = T^{-1}(\{x\in X : f(x)\geq a \}) \ \ \forall a \in \mathbb{R}\cup \infty$ donc $ f\circ T = f $

Particulièrement, si vous saviez démontrer que $ \{x\in X : f(x)\geq a \} = T^{-1}(\{x\in X : f(x)\geq a \}) \ \ \forall a \in \mathbb{R}\cup \infty$ implique que $\forall E \in S, \ f^{-1}(E) \in Iv$ avec $Iv$ la tribu engendrée par les parties T-invariantes de $X$

J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.

aléa · June 2019

C'est purement déterministe, la transformation ne joue pas, la mesurabilité et les tribus non plus: si pour tout $a$ réel, $\{f\ge a\}=\{g\ge a\}$, alors $f=g$.

Nicolaz · June 2019

merci pour ta réponse aléa, mon problème est que n'arrive pas à obtenir l'égalité :

$\{x\in X :f(x)\geq a \} = \{x\in X : f(T(x))\geq a \}$ pour tout $a$ réel.

au mieux j'ai :

$\{x\in X : f(x)\geq a \} = \{T(x)\in X : f(T(x))\geq a \}$

Il y a probablement quelque chose d'évident que je ne vois pas mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus.

Poirot · June 2019

$$T^{-1}\{x \in X \mid f(x) \geq a\} = \{y \in X \mid T(y) \in \{x \in X \mid f(x) \geq a\}\} = \{y \in X \mid f(T(y)) \geq a\}$$

Nicolaz · June 2019

Effectivement...où avais-je la tête :-S

Merci Poirot :-) (et aléa)

T-invariance et mesure.

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