Shift de Bernoulli

1) Chaque $X_n$ est une application $E\to\R$. Étant donné un espace mesurable $(F,\mathcal{T})$ (ici $F=\R$ et $\mathcal{T}=\mathcal{B}=$ la tribu borélienne), la tribu engendrée par une application $f:E\to F$ est la plus petite tribu sur $E$ qui rend $f$ mesurable ; autrement dit, c'est la tribu formée des $f^{-1}(B)$ pour $B\in\mathcal{T}$. La tribu engendrée par une famille d'application $(f_n)_{n\in I}$ est la tribu engendrée par les $f_n^{-1}(B)$ ($n\in I$, $B\in\mathcal{T}$).

2) Dans notre cas, si $n\in\N$ et $B$ est un borélien de $\R$, on trouve le « cylindre » $X_n^{-1}(B)=\R^n\times B\times \R^{\{n+1,\dots,\}}$. D'évidence, $X_n^{-1}(B)\in\mathcal{R}$, d'où l'on déduit que la tribu $\mathcal{E}$ engendrée par les $\sigma(X_n)$ ($n\in\N$) est contenue dans $\sigma(\mathcal{R})$.

Inversement, pour $R=\prod_{n\in\N}A_n$, avec $A_n=\R$ pour $n\ge n_0$, disons, on voit que $R=\bigcap_{n\le n_0}X_n^{-1}(A_n)$ : c'est un élément de $\mathcal{E}$. On en déduit que $\mathcal{R}\subset\mathcal{E}$ puis que $\sigma(\mathcal{R})\subset\mathcal{E}$.