Ergodicité de 2x (mod 1)
Bonsoir,
Je cherche à démontrer ceci
J'ai trouvé dans un manuel la démonstration suivante .
Le caractère $T$-invariant de la mesure de Lebesgue est évident.
Montrons l'ergodicité du système.
Définissons d'abord $D_{n,k} : = [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}]$ pour $n>0$ et $k=0,\ldots,2^n-1$.
On note que $$T^n(D_{n,k})=[0,1]$$ donc $ T^{-n}(D_{n,k})$ est une union de $2^k$ intervalles disjoints de mesure $2^{-2n}$.
On montre par récurrence sur $n$, pour tout ensemble mesurable $A$ et $k=0,\ldots,2^n-1$ l'égalité suivante. $$
\lambda(T^{-n}(A) \cap D_{n,k})= \frac{1}{2^n}\lambda(A)=\lambda(A)\lambda(D_{n,k})
$$ Si $A$ est $T$-invariant alors cette égalité se réécrit $$ \lambda(A \cap D_{n,k})=\lambda(A)\lambda(D_{n,k}).
$$ Si $\lambda(A)>0$ alors pour tout $\delta>0$ il existe un couple $(n,k)$ tel que : $$
\lambda(A \cap D_{n,k})>(1-\delta)\lambda(D_{n,k}) .
$$ Comme $\delta$ est arbitraire cela implique que $\lambda(A)=1$ et donc que le système est ergodique.
Je ne comprends pas la partie soulignée. Qu'est-ce qui permet d'en déduire l’existence de ce couple ?
En espérant que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.
Je cherche à démontrer ceci
Théorème a écrit:Soit $T:[0,1]\to [0,1]$ définie par $T(x)=2x \pmod 1$, $\lambda$ la mesure de Lebesgue alors le système $([0,1],S,\lambda,T)$ est ergodique et $T$ préserve la mesure.
J'ai trouvé dans un manuel la démonstration suivante .
Le caractère $T$-invariant de la mesure de Lebesgue est évident.
Montrons l'ergodicité du système.
Définissons d'abord $D_{n,k} : = [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}]$ pour $n>0$ et $k=0,\ldots,2^n-1$.
On note que $$T^n(D_{n,k})=[0,1]$$ donc $ T^{-n}(D_{n,k})$ est une union de $2^k$ intervalles disjoints de mesure $2^{-2n}$.
On montre par récurrence sur $n$, pour tout ensemble mesurable $A$ et $k=0,\ldots,2^n-1$ l'égalité suivante. $$
\lambda(T^{-n}(A) \cap D_{n,k})= \frac{1}{2^n}\lambda(A)=\lambda(A)\lambda(D_{n,k})
$$ Si $A$ est $T$-invariant alors cette égalité se réécrit $$ \lambda(A \cap D_{n,k})=\lambda(A)\lambda(D_{n,k}).
$$ Si $\lambda(A)>0$ alors pour tout $\delta>0$ il existe un couple $(n,k)$ tel que : $$
\lambda(A \cap D_{n,k})>(1-\delta)\lambda(D_{n,k}) .
$$ Comme $\delta$ est arbitraire cela implique que $\lambda(A)=1$ et donc que le système est ergodique.
Je ne comprends pas la partie soulignée. Qu'est-ce qui permet d'en déduire l’existence de ce couple ?
En espérant que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.
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Réponses
Cela vient d'une propriété fondamentale de la mesure de Lebesgue :
Soit $A\subset [0;1]$ un ensemble mesurable, pour tout $\varepsilon>0$ il existe une famille dénombrable d'intervalles $(I_k)_k$ telle que $A\subset \cup I_k$ et $\sum \lambda(I_k)< \lambda(A)+\varepsilon$.
On obtient immédiatement cette propriété si on construit la mesure de Lebesgue en passant par les mesures extérieures, c'est même presque la définition de la mesure de Lebesgue. Ce qui va être intéressant pour la suite c'est que cette propriété reste vraie si on impose que les intervalles soient des intervalles dyadiques (on peut approcher tout intervalle d'aussi près que l'on veut par une union d'intervalles dyadiques).
Fixons donc un $\delta>0$ et un ensemble mesurable $A$ avec $\lambda(A)>0$. Il existe une famille dénombrable d'intervalles dyadiques $(I_k)_k$ telle que $A\subset \cup I_k$ et $\sum \lambda(I_k) < \lambda(A)(1+\delta)$. Il existe donc un entier $K$ tel que $\lambda(I_K\cap A)> (1-\delta)\lambda(I_K)$, en effet si ce n'était pas le cas on aurait
\[
\lambda(A) = \lambda(A \cap (\bigcup_k I_k)) =\lambda(\bigcup_k (A\cap I_k))\leq \sum_k \lambda(A\cap I_k)\leq \sum_k (1-\delta)\lambda(I_k) \leq (1-\delta)(1+\delta)\lambda(A) = (1-\delta^2) \lambda(A)
\]
ce qui est absurde.
Tu as tout à fait raison, c'est un >, je corrige ça.
Merci pour l'explication et la démonstration. Je ne connaissais pas cette propriété de la mesure de [large]L[/large]ebesgue, j'ai appris des choses.
Ps: désolé pour le retard.
[Henri Lebesgue (1875-1941) prend toujours une majuscule. AD]