Comparaison de deux variables aléatoires
Bonjour,
J'aimerais répondre à la question suivante : Soient $X$ et $X'$ deux variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de paramamètres $n,p$ et $n,p'$ respectivement, comparer $P(X\geq k)$ et $P(X'\geq k)$ en utilisant un argument de couplage.
Cet argument de couplage me laisse réfléchir à faire cela : $P(X\geq k)=\sum_{j=k}^{n}{P(X=j)}=\sum_{j=k}^{n}{\sum_{l=0}^{n}{P(X=j,X'=l)}}$ j'essaie alors d'avoir $P(X'\geq k)$ de la façon suivante :
$\sum_{j=k}^{n}{\sum_{l=0}^{n}{P(X=j,X'=l)}}=\sum_{l=k}^{n}{\sum_{j=0}^{n}{P(X=j,X'=l)}}-\sum_{l=k}^{n}{\sum_{j=0}^{k-1}{P(X=j,X'=l)}}+\sum_{l=0}^{k-1}{\sum_{j=k}^{n}{P(X=j,X'=l)}}$
Ainsi le premier terme de l'expression à droite est $P(X'\geq k)$
Mais arrivé à cette étape là je ne sais pas quoi faire d'autre. Les manipulations sur les deux sommes qui restent n'aboutissent à rien.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de répondre à cette question.
Merci d'avance,
J'aimerais répondre à la question suivante : Soient $X$ et $X'$ deux variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de paramamètres $n,p$ et $n,p'$ respectivement, comparer $P(X\geq k)$ et $P(X'\geq k)$ en utilisant un argument de couplage.
Cet argument de couplage me laisse réfléchir à faire cela : $P(X\geq k)=\sum_{j=k}^{n}{P(X=j)}=\sum_{j=k}^{n}{\sum_{l=0}^{n}{P(X=j,X'=l)}}$ j'essaie alors d'avoir $P(X'\geq k)$ de la façon suivante :
$\sum_{j=k}^{n}{\sum_{l=0}^{n}{P(X=j,X'=l)}}=\sum_{l=k}^{n}{\sum_{j=0}^{n}{P(X=j,X'=l)}}-\sum_{l=k}^{n}{\sum_{j=0}^{k-1}{P(X=j,X'=l)}}+\sum_{l=0}^{k-1}{\sum_{j=k}^{n}{P(X=j,X'=l)}}$
Ainsi le premier terme de l'expression à droite est $P(X'\geq k)$
Mais arrivé à cette étape là je ne sais pas quoi faire d'autre. Les manipulations sur les deux sommes qui restent n'aboutissent à rien.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de répondre à cette question.
Merci d'avance,
Réponses
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Pour faire du couplage, il faut prendre $U_1,\dots,U_n$ indépendantes suivant la loi uniforme sur $[0,1]$, poser $X=\sum_{k=1}^n 1_{U_k\le p}$ et $X'=\sum_{k=1}^n 1_{U_k\le p'}$.
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Bonjour,
Merci pour votre réponse. Il s'est avéré que je ne sais pas ce que c'est que ce couplage. Je pensais que l'indication voulait dire : " considérez le couple $(X,X')$ ".
Est-ce que vous pouvez m'expliquer un peu plus s'il vous plaît ? En fait, je ne comprends pas cette écriture : $X=\sum_{k=1}^{n}{1_{U_{k\leq p}}}$. Je ne sais pas ce que vous voulez dire par l'indicatrice d'une application.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre cette méthode.
Merci d'avance, -
Pour ce point technique : \[\forall \omega\in\Omega,\quad\mathbf{1}_{U_i\le p}(\omega)=\begin{cases}1&\text{si}\ U_i(\omega)\le p,\\0&\text{sinon.}\end{cases}\]
-
Merci pour votre réponse. Et comment est-ce que c'est possible que des variables aléatoires suivent une loi uniforme un ensemble non dénombrable $[0,1]$ s'il vous plaît ?
En fait, je ne sais pas si c'est la même méthode de couplage dont parle l'indication de l'exercice car c'est un exercice de maths spé, alors que les variables aléatoires $U_{1},...,U_{n}$ me semblent des variables à densité ou autre chose.
Merci d'avance, -
Bon, alors tu peux poser
$X=\sum_{k=1}^n X_k$ et $X'=\sum_{k=1}^n \max(X_k,Y_k)$ où les $X_k$ sont des Bernoulli de paramètre $p$, les $Y_k$ des Bernoulli de paramètre $q$ avec $1-(1-p)(1-q)=p'$, et les $X_k$, $Y_k$ sont tous indépendants. -
En général, il me semble que quand on parle de variable qui suit une loi uniforme sur un ensemble non dénombrable, on est toujours sur un ensemble non-déombrable ouvert, donc ]0,1[, et pas [0,1]Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Bonjour,
Merci pour votre réponse. Pouvez-vous m'expliquer comment on arrive à cette formule s'il vous plaît ?
J'ai aussi un problème concernant $X'$. Je sais qu'une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $(n,p')$ peut être vue comme une somme de variables aléatoires de Bernoulli mutuellement indépendante de paramètre $p'$.
Lorsque je tente de montrer que $max(X_{k},Y_{k})$ est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p'$ , je trouve que lorsque $X_{k}=1$ et $Y_{k}=0$ alors $P(max(X_{k},Y_{k}))=p$ , sans parler du cas où $X_{k}=Y_{k}$ alors $P(max(X_{k},Y_{k}))$ n'est pas définie ?
Merci d'avance, -
" lorsque $X_{k}=1$ et $Y_{k}=0$ alors $P(max(X_{k},Y_{k}))=p$ "
Cette phrase n'a pas de sens; mais ne t'en fais pas, c'est une erreur très commune.
Le problème c'est que les $X_k$ des deux membres des deux phrases sont deux abréviations pas compatible entre elles.
" lorsque $X_{k}=1$ et $Y_{k}=0$" signifie " lorsque $\omega$ est tel que $X_{k}(\omega)=1$ et $Y_{k}(\omega)=0$"
tandis que $max(X_{k},Y_{k}))$ " est une fonction, qui est le max de deux fonctions: il est toujours défini car en tout point le max est défini (même si les deux nombres sont égaux).
En revanche,on ne peut pas prendre la probabilité d'une fonction, seulement celle d'un ensemble (de points de $\Omega$ vérifiant une condition). -
Bonjour
Je comprends maintenant. Merci beaucoup pour votre réponse.
Vu que $\max(X_{k},Y_{k})$ ne prend que $0$ et $1$ comme valeurs alors $P(\max(X_{k},Y_{k}))=1$ veut dire en réalité $P({\omega \in \Omega\mid\max(X_{k},Y_{k})(w)=1})$. Or $\max(X_{k},Y_{k})(w)=1$ c'est quand $X_{k}(w)=1$ ou $Y_{k}(w)=1$. Mais attends l'existence de telles variables aléatoires et qui soient indépendantes pour pouvoir séparer les probabilités ?
Merci d'avance,
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Bonjour!
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