Marginale

Si l'on fixe deux vecteurs $v_1$ et $v_2$ de taille $3$, à coefficients dans $[0,1]$ et dont la somme des coefficients vaut $1$, alors il existe plein de matrices $3\times 3$ dont la somme par lignes soit $v_1$ et dont la somme par colonnes soit $v_2$. Est-ce que cela répond à ta question ?

Préliminaire : la mesure produit sur $X\times Y$ se note plutôt $\mu\otimes\nu$.

Skilveg se propose d'étudier le cas où $X$ et $Y$ ont trois éléments. Disons pour fixer les idées, $X=\{1,2,3\}=Y$. La mesure $\mu$ est caractérisée par trois réels $\mu_i=\mu(\{i\})$ ($1\le i\le 3$), c'est-à-dire un vecteur $(\mu_1,\mu_2,\mu_3)$ de $\R^3$ dont les coefficients sont en fait dans $[0,1]$ et tels que $\mu_1+\mu_2+\mu_3=1$. De même pour $\nu$, qui est caractérisée par $(\nu_1,\nu_2,\nu_3)$.

Une mesure $\pi$ sur $X\times Y$ est caractérisée par neuf nombres $\pi_{i,j}=\pi\bigl(\{(i,j)\}\bigr)$. La donnée des marginales donne six équations : ce n'est jamais assez pour déterminer neuf nombres de façon unique.

Dans ton exemple, le support des deux mesures marginales est strictement inclus dans $\{1,2,3\}^2$.

"C'est pas compliqué de..." : non, en effet ! À tel point que tu peux t'en occuper toi-même et que ce sera formateur.

Voici la solution générale : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sont quelconques avec la contrainte que les coefficients sont positifs. À l'indice $(i,j)$, on met $\pi_{ij}=\pi\bigl(\{(i,j)\}\bigr)$ : \[
\Pi=\begin{pmatrix}
\mu_{1}\nu_{1}+\alpha&\mu_{1}\nu_{2}+\beta&\mu_{1}\nu_{3}-\alpha-\beta\\
\mu_{2}\nu_{1}+\gamma&\mu_{2}\nu_{2}+\delta&\mu_{2}\nu_{3}-\gamma-\delta\\
\mu_{3}\nu_{1}-\alpha-\gamma&\mu_{3}\nu_{2}-\beta-\delta&\mu_{3}\nu_{3}+\alpha+\beta+\gamma+\delta
\end{pmatrix}.\]