Existence d'une loi.

Gentil · July 2019

Bonjour à tous
Je cherche une référence pour le théorème suivant, d'ailleurs je ne suis pas sûr de ne pas avoir oublié une hypothèse.

Soit $X, \mathcal{X}, P$ un espace probabilisé. Pour toute mesure de probabilité $\mu$ sur un espace polonais $X$ muni de la tribu borélien, il existe une v.a $Q$ tel que $P_{Q} = \mu$.

Je suis assez désespéré de ne rien trouver ce serait un soulagement si vous pouviez m'aider, je vous souhaite une excellente journée.

Poirot · July 2019

La lettre $X$ est mal venue pour nommer ton polonais.

Tu devrais trouver ta réponse ici : https://math.stackexchange.com/questions/1999415/there-must-exist-a-random-variable-with-certain-given-law?rq=1

Gentil · July 2019

Pardon je vais noter l'espace polonais $Y$.

Ils sont arrivés à la conclusion que si $X$ et $Y$ sont des espaces polonais tel que
1) Le cardinal de $X$ est supérieur ou égal au cardinal de $E$.
2) La mesure $\mu$ est absolument continue par rapport à $P$.
3) Les atomes de $\mu$ sont inclus dans les atomes de $P$.
Alors $Q$ existe.

Bon, je connaissais le résultat pour les espaces sans atomes donc la 3ième hypothèse ne me choque pas.
Cependant 2ième est restrictive. Pour les mesures non atomiques, il suffit juste que les cardinaux soit égaux pour que $Q$ existe.

Je pense que ce ne sera pas simple de trouver une preuve de ce théorème.