Interprétation géométrique espérance,variance

Effectivement, $(X,Y) \to E(\bar{X} Y)$ (sans la barre si on reste en réel) est un produit scalaire, donc $\sqrt{E(|X|^2 )}$ est une norme sur $L^2 (\Omega, P)$. Tu peux le voir comme un espace de Hilbert. Si tu introduis l'espérance, c'est une forme linéaire continue dessus, et $H$ son noyau est un hyperplan fermé. Sur $H$, la covariance s'identifie au produit scalaire précédent et l'écart-type donne donc une norme sur $H$. Aussi, pour toute v.a. $X$, la v.a $X' = X - E(X)$ représente sa projection orthogonale sur $H$ et son écart-type est donc la norme de cette projection. Note en outre que la corellation de deux v.a. de $H$ représente (dans le cas réel) le cosinus de l'angle qu'elles forment dans $H$.

Une manière plus abstraite, mais selon moi plur pertinente de voir ces choses est d'identifer $H$ au quotient de $L^2 (\Omega, P)$. par les v.a. constantes (dans un Hilbert, l'orthogonal d'un sous-espace ferme s'identifie naturellement au quotient de l'espace par ce sous-espace), et donc d'identifier les v.a qui diffèrent d'une constante. On n'est alors plus obligé de prendre nos v.a. de moyenne nulle. L'écat-type est alors une vraie norme et la covariance un vrai produit scalaire.