Inclusion de limsup d'ensembles

carle1 · July 2019

Bonjour,

Soit $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires réelles.

S'il vous plaît, pouvez-vous m'expliquer rigoureusement comment obtenir l'inclusion : $\limsup_n\left\{\frac{|X_n|}{n}>\epsilon \right\} \subset \limsup_n\bigcup_{2^n\leq k\leq 2^{n+1}}{\left\{\frac{|X_k|}{k}>\epsilon \right\}}, \epsilon>0$ ?
Merci.

Frédéric Bosio · July 2019

Je n'ai pas très bien compris tous les objets dont il est question mais j'ai l'impression que l'inclusion devrait être dans l'autre sens.

Poirot · July 2019

$\omega$ appartient à l'événement de gauche si et seulement s'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $\frac{|X_n(\omega)|}{n} > \varepsilon$. Ça implique clairement l'existence d'une infinité d'entiers $m$ tels qu'il existe $n$ entre $2^m$ et $2^{m+1}$ tels que $\frac{|X_n(\omega)|}{n} > \varepsilon$, ce qui veut dire que $\omega$ appartient à l'événement de droite.

carle1 · July 2019

j'ai pas compri pourquoi si $\forall n \in \mathbb{N},\exists k \geq n;\frac{|X_k|}{k}>\epsilon$ alors $\forall n \in \mathbb{N},\exists k \geq n;\exists 2^k \leq j \leq 2^{k+1};\frac{|X_j|}{j}>\epsilon$?

Poirot · July 2019

Soit $n \in \mathbb N$. Soit $j \geq n$ tel que $\frac{|X_j(\omega)|}{j} > \varepsilon$. On pose $k = \lfloor \log_2(j) \rfloor$, où $\log_2$ signifie le logarithme en base $2$, autrement dit $\log_2(j) = \frac{\ln(j)}{\ln(2)}$. Alors on a bien $2^k \leq j \leq 2^{k+1}$. C'est une trivialité : chaque entier se trouve entre deux puissances de $2$.

Inclusion de limsup d'ensembles

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