Fonction de répartition

Fulgrim · July 2019

Bonjour à tous,
J'aimerais démontrer ce théorème que j'ai trouvé dans le Durrett :
Soit $F$ la fonction de répartition d'une VA $X$. On suppose $F$ continue. Montrer que $Y:=F(X)$ est de loi uniforme sur $]0,1[$.
Si $F$ est strictement croissante c'est facile, car alors $F$ est bijective sur $]0,1[$ et il suffit d'écrire :
$$\mathbb{P}(Y\leq y) = \mathbb{P}(X\leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y))=y.$$
En revanche si $F$ admet des paliers je ne sais pas comment utiliser sa continuité... Quelqu'un aurait une indication ?

Fulgrim · July 2019

J'ai fini par trouver :
Comme $F$ est continue, elle est surjective sur $]0;1[$ et on peut définir $F^{-1}(y)=\sup \{x~|~ F(x)=y\}$, et par hypothèse ce $\sup$ est atteint.\\
On peut alors calculer
$$\mathbb{P}(Y\leq y) = \mathbb{P}(X\leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y))=y.$$
(les égalités sont vraies par un appel direct aux hypothèses.)

Poirot · July 2019

À noter que dans cette preuve classique, on appelle souvent ton $F^{-1}$ l'inverse généralisé de $F$.

Gentil · September 2019

A propos de cet inverse généralisé avez-vous un lien avec des graphiques pour les lois usuelles ?

Fonction de répartition

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