Méthode de rejet, équilibrer les fréquences

Tout d'abord merci pour ta réponse.

Si je ne repéte pas l'opération, ça ne va pas suffire pour avoir autant de 0 que de 1.
Si je répète l'opération quelques millions de fois, je vais finir par supprimer tous les 0.

Justement, puisque 0 est minoritaire, on veut lui assigner une certaine probabilité de rejet $p$. Le but n'est pas de tous les supprimer, mais d'équilibrer les proportions de 0 et de 1.

A chaque tirage de 0, la réalisation de l'expérience est rejetée avec probabilité $p$, acceptée avec probabilité $1-p$.

En fait, j'imagine que tu ne pioches pas un élément au hasard mais que tu pioches successivement tous les éléments (donc n pioches successives). Ou que tu fais n pioches successives et aléatoires.
Ces 2 scénarios se ressemblent, mais je pense que le seuil p qu'on va obtenir pour ces 2 scénarios ne sera pas le même.

On fait n pioches successives et aléatoires (avec remise).

Peut-on éclaircir ce point. Ca devrait aussi éclaircir la 2ème question. En particulier dans la 2ème question, combien de fois on va piocher une fenêtre de k éléments.

On pioche une infinité de fois. Le but étant que dans les réalisations qu'on accepte, la quantité de 0 et de 1 soit équilibré. Bien sur, il faut attendre un certain moment avant de se rapprocher du ratio désiré (0.5/0.5 ici), mais je n'ai pas étudié la convergence de la méthode.

Je précise qu'on ne s'intéresse pas à la proportion de 0 et 1 au sein d'une fenêtre particulière. Ce qu'on veut, c'est une proportion équilibré de 0 et 1 dans la concaténation de toutes les fenêtres que l'on a accepté.

Pour te donner un ordre d'idée, dans la simulation numérique que j'ai réalisé pour le premier scénario : 50 tirages dans une séquence de taille 12500 dont la moyenne est 0.1 suffisent à équilibrer les proportions.

Mais cela n'a pas vraiment d'importance, dans notre cas, nous sommes prêts à attendre un certain temps.

Merci pour vos messages.

J'ai mis du temps, mais je viens de comprendre.
Je reformule le dernier exemple.
On a 12500 éléments, dont environ 10% de fois l'élément 1 et 11250 fois l'élément 0.

Je pioche successivement des éléments (tirage avec remise). Si l'élément tiré est 1, je note 1 sur mon cahier. Si l'élément tiré est 0, je tire un nombre au hasard entre 0 et 100%, et si ce nombre est supérieur à un seuil P que j'ai précalculé, alors je note 0 sur mon cahier.
Et comme on a bien choisi le seuil P, on constate qu'au bout d'une cinquantaine de tirage, on est très proche de moitié-moitié. et qu'on ne s'éloigne plus trop de ce pourcentage de 50%

A partir de notre séquence de 12500 éléments, on peut donc éventuellement faire plusieurs millions de tirages, et écrire 1 million de 1 ou de 0 sur notre cahier.

Au début, je pensais que quand on tombait sur un 0, quand en plus le tirage alétoire donnait un nombre supérieur au seuil, alors on retirait cet élément 0 de la séquence (et donc on continuait, avec une séquence de plus en plus petite).

C'est exactement ça oui !

Tu disais dans le 1er message : Si af > 0.5, alors on garde toujours cette fenêtre. C'est un choix, mais ce n'est pas forcément le meilleur choix.
Si af est légèrement supérieur à 0.5, alors, oui, on garde cette fenêtre. Mais si af est proche de 1, ce n'est pas forcément une bonne stratégie de systématiquement garder cette fenêtre.

Prenons le cas limite, pf vaut 0.49999 ; une stratégie, c'est de garder quasiment toutes les fenêtres.

Je comprends où tu veux en venir. Mais tout comme dans la question 1, je pense qu'on aurait pu choisir de ne pas forcément accepter s_i = 1, non ? On pourrait assigner une probabilité $p_1$ d'accepter $s_i = 1$, et $p_2$ d'accepter $s_i = 0$, avec $p_1$ et $p_2$ choisies tel que $p(s_i = 1~|~accepté) = p(s_i = 0~|~accepté) = 0.5$.

Retour à la question 2 :
Comme on sait que les 1 sont (beaucoup) moins fréquents que les 0, je pense que c'est raisonnable de toujours accepter les fenêtres pour lesquelles $a_f > 0.5$. Car $p(a_f > 0.5)$ devrait être assez basse elle aussi.

Une autre stratégie, c'est de garder les fenêtres qui ont 0.45<af<0.55 , et de garder aléatoirement les autres, avec éventuellement une proportion très faible de fenêtres conservées quand af est en dehors de cet intervalle [0.45, 0.55]

En effet, j'ai exploré cette approche. J'assignais une probabilité qui dépendait directement de la distance de $a_f$ par rapport à $0.5$. Plus la distance était grande, plus les chances de rejet étant élevées. Ce que j'aime moins avec cette approche, c'est qu'elle dépend d'un paramètre. Je n'ai pas pu obtenir une solution aussi propre que celle de la question 1. Je n'avais aucune assise théorique derrière.

La difficulté du problème est double :
- Calculatoirement, les calculs vont être compliqués.
- comme il y a plein de stratégies possibles, il y a en plus un flou sur les calculs à effectuer.

Yes, le problème a l'air d'être sous-spécifié.

Je n'avais pas répondu au premier message, ne comprenant pas ce que tu faisais. En particulier, d'où sortait cette probabilité. J'ai l'impression que tu la choisis "à priori", peut-être en fonction de la fréquence des 0 et des 1.

$S=[0,1,0,0,1,0,1,0,…,1,0,1,0]$ est ma séquence
$p_f$ la probabilité d'obtenir un 1. Et on suppose $p_f < 1 - p_f$.

On fait N tirages avec remise (on peut fixer N, mais ça n'a pas d'importance pour moi). On note ces tirages $s_i$
que l'on accepte ou que l'on rejette, de telle sorte que la proportion de 0 et de 1 soit équilibrée.

Comme les 1 sont moins nombreux, on accepte avec probabilité 1 la réalisation $s_i=1$.
Comme les 0 sont plus nombreux (certains ont besoin d'être rejetté), on assigne une probabilité $p$ à la réalisation $s_i=0$.


On veut $p(s_i=1) \times p(accepter~s_i=1) = 0.5$
et $p(s_i=0)\times p(accepter~s_i=0) = 0.5$

Donc :

$p_f \times 1 = 0.5$
$(1-p_f) \times p = 0.5$

En divisant chaque membre :

$ p = \dfrac{p_f}{1-p_f}$

J'espère que le calcul est plus clair.

Petit problème : "On pioche une infinité de fois" + "A chaque tirage de 0, la réalisation de l'expérience est rejetée avec probabilité p, acceptée avec probabilité 1-p" aboutit à supprimer les 0 (même avec p faible). Même si ton " but [étant]est que dans les réalisations qu'on accepte, la quantité de 0 et de 1 soit équilibrée."

Aboutit à supprimer les 0 ? J'ai peur de ne pas suivre pour le coup.
Dans ma séquence de $s_i$ acceptés, en suivant le raisonnement de la question 1, on arrive bien à une quantité équilibrée. Statisquement, on rejette suffisamment de fois $0$ pour justement arriver à une proportion de 0.5/0.5.

En effet, je me rends compte que mes explications n'étaient pas du tout claires. Je pense l'exemple du cahier de lourrran est bien meilleure !

Donc Iourran a bien raison de te demander quel est ton critère d'arrêt; question à laquelle tu n'as pas répondu. Ta simulation numérique ne convainc que toi, puisque c'est toi qui as décidé d'arrêter au bout de 50 tirages (pourquoi 50 ?).

J'ai du mal à comprendre pourquoi c'est si nécessaire.

Une autre façon d'expliquer le problème 1:
On joue à pile-ou-face avec une pièce biaisée dont la probabilité de tomber sur pile est 0.1, et la probabilité de tomber sur face est 0.9. Quelle est la probabilité de "correction" de la réalisation "FACE" pour justement débiaiser cette pièce.
L'évenement "PILE" est si rare que j'ai tout intérêt à accepter chacune de ces réalisations (en tout cas si je n'ai pas envie de lancer cette pièce un nombre trop grand de fois).

Si je réalise cette expérience 2 fois, je me doute bien que la proportion de "PILE" et "FACE" ne sera pas forcément 1/2.
En revanche, si j'attends suffisamment longtemps, je vais converger vers 1/2 et ma pièce sera débiaisée: mission accomplie.

Comme dit plus-haut, si ça peut aider on peut fixer le nombre d'expériences à $N$.

La comparaison avec pile-ou-face ne s'applique pas à la question 2 : ma séquence $S$ n'est pas binomiale malheureusement.