Tirage avec remise dans urne tricolore

bestM · July 2019

Bonjour
J'ai du mal à commencer cet exercice posé par un de mes professeur pour la rentrée. Quelqu'un peut-il m'aider. D'avance merci. BestM.

Soit une urne contenant une proportion p₁ de boules bleues (B), p₂ de boules rouges (R) et p₃ de boules vertes (V). On fait un nombre de tirage indéfini et avec remise.
Soit X la variable aléatoire réelle discrète associée au tirage au bout duquel on obtient la séquence BRV dans l'ordre pour la première fois. On arrête le tirage dès que la séquence BRV est obtenue consécutivement.
On pose : a_n =P(X=n) et b_n=P(X<= n).
1. Trouver une relation entre a_n+3, b_n, p₁, p₂ et p₃.
2. Trouver une relation de récurrence linéaire d' ordre 3 sur a_n.
3. Probabilité que le jeu s'arrête.

bestM · July 2019

re-bonjour,

pour la question 1 je trouve : a_n+3=(1-b_n))p₁p₂p₃ en supposant les tirages indépendants et en disant que la combinaison n'est pas obtenu en n lancers, puis tirage de B, suivi de R et B avec les probabilités respectives p₁, p₂, p₃.
Le raisonnement est-il juste ?

Pour la question 2, je trouve : a_n+3-a_n+2+p₁p₂p₃ a_n=0

La question 3 : ???

Merci pour votre aide.

marsup · July 2019

Bonjour,

La probabilité que le jeu termine est la somme de la série $\sum a_n$.

D'après ta relation de récurrence linéaire, tu peux télescoper cette série.

aléa · July 2019

C'est quand même un peu triste de ne proposer à des élèves que chemin-là pour conclure que le jeu se termine presque sûrement.

La probabilité que le jeu se termine en (moins de) $3n$ coup dépasse $1-(1-p_1p_2p_3)^n$, et c'est fini.

bestM · July 2019

Quand je somme ma relation de récurrence, j'obtiens :
p₁p₂p₃ (a₀+...+a_n)=a_n+3
mais je ne connais pas la limite de la suite a_n.

marsup · July 2019

En sommant : $a_{n+2}-a_{n+3} = P \cdot a_n\quad $, où $P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$,

je trouve plutôt : $\quad P \cdot \sum\limits_{k=m}^n a_k = a_{m+2} - a_{n+3}$

Quand je prends la limite $n\to\infty$, il doit rester quelque chose de positif.

Pour répondre à ta remarque :

La limite doit être $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$, puisqu'il faut bien que la série $\sum a_n$ converge.

lourrran · July 2019

Il y a un cas où le jeu ne s'arrête jamais, c'est quand l'un des 3 nombres $p_1 , p_2 , p_3$ est nul. A priori, rien n'interdit cette configuration.

Tirage avec remise dans urne tricolore

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