Produit de convolution
Bonjour
Je suis tombé sur le problème suivant (très classique).
Roméo et Juliette se sont donnés rendez-vous entre 22h et 23h.Ils ne s'attendront que 10min. Leur temps d'arrivée suit la loi uniforme sur [0 ; 60] (le temps d'arrivée étant égal au nombre de minutes écoulées depuis 22h).
Quelle est la probabilité qu'ils se rencontrent ?
En seconde, on peut se contenter d'une représentation graphiques, d'un algorithme. Ce qui est simple.
Mais je voulais en faire la preuve théorique et donc, je suis amené à chercher la densité de la variable aléatoire T = T1 - T2 où T1 et T2 sont les v.a. indiquant les temps d'arrivée de Roméo et Juliette.
J'ai trouvé que cette densité était égale à
f(t) = (60-t)/3600 si 0<t<60 et f(t) = (60+t)/3600 si -60<t<0
Avec ça, je trouve bien que la probabilité cherchée est 11/36 (ce qui confirme les deux autres méthodes) mais pas moyen de refaire les calculs nécessaires à déterminer cette densité (d'où le titre de mon message ...)
Quelqu'un peut-il m'aider ? C'est très frustrant, cette densité traîne dans mes affaires et j'ai dû la trouver jadis mais je ne sais plus le faire ...
Je suis tombé sur le problème suivant (très classique).
Roméo et Juliette se sont donnés rendez-vous entre 22h et 23h.Ils ne s'attendront que 10min. Leur temps d'arrivée suit la loi uniforme sur [0 ; 60] (le temps d'arrivée étant égal au nombre de minutes écoulées depuis 22h).
Quelle est la probabilité qu'ils se rencontrent ?
En seconde, on peut se contenter d'une représentation graphiques, d'un algorithme. Ce qui est simple.
Mais je voulais en faire la preuve théorique et donc, je suis amené à chercher la densité de la variable aléatoire T = T1 - T2 où T1 et T2 sont les v.a. indiquant les temps d'arrivée de Roméo et Juliette.
J'ai trouvé que cette densité était égale à
f(t) = (60-t)/3600 si 0<t<60 et f(t) = (60+t)/3600 si -60<t<0
Avec ça, je trouve bien que la probabilité cherchée est 11/36 (ce qui confirme les deux autres méthodes) mais pas moyen de refaire les calculs nécessaires à déterminer cette densité (d'où le titre de mon message ...)
Quelqu'un peut-il m'aider ? C'est très frustrant, cette densité traîne dans mes affaires et j'ai dû la trouver jadis mais je ne sais plus le faire ...
Réponses
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Je viens de trouver ...
désolé pour ceux que j'ai dérangé pour rien.
En tout cas si ça intéresse quelqu'un du coup j'ai la solution... -
Bonjour,
Je viens d'avoir le même type de problème et malheureusement, si je comprends la problématique, je sèche sur la résolution thorique.
Pouvez-vous m'indiquer votre démarche?
D'avance Merci -
Bonjour VIONNET
Si j'ai bien compris, il te faut la démarche pour obtenir la densité de probabilité de T1-T2 (T1 désigne l'instant d'arrivée de Roméo et T2 celui de Juliette ou inversement ...)
Nous allons calculer P(-a<T1-T2<a) (a est un réel positif)
Il te faut distinguer plusieurs cas.
Si T1 est à valeurs dans [0 ; a] alors T2 doit être à valeurs dans [0 ; x+a] (où T1 prend la valeur x)
Si T1 est à valeurs dans [a ; 60-a] alors T2 doit être à valeurs dans [x-a ; x+a]
Si T1 est à valeurs dans [60-a ; 60] alors T2 doit être à valeurs dans [x-a ; 60]
T1et T2 suivent des lois uniformes sur [0 ; 60] et sont indépendantes, en sommant les probabilités des évènements qui réalisent "-a < T1-T2 < a", on obtient :
P(-a<T1-T2<a) =int(0,a int(0, x+a,1/3600)dy dx) + int(a, 60-a, int(x-a, x+a, 1/3600)dy dx) +int(60-a, 60, int(x-a, 60, 1/3600)dy dx)
Désolée, je n'ai pas pris le temps de chercher comment écrire le symbole intégrale sur le forum ...
Après des calculs élémentaires d'intégration tu trouves la densité cherchée f(t) pour t positif, par symétrie celle pour t négatif et donc la solution au problème.
Bonne journée.
[Inutile de recopier le dernier message. AD]
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