Densité

Oui,

c'est le départ, utilisant l'indépendance de U et V. la suite est facile ...

Cordialement.

Simeon-urbain a écrit:

et je drive

Attention aux excès de vitesse ! :)o

Bah l'espérance de $\phi(U+V)$, qu'est-ce que tu veux savoir de plus ? Il est écrit que $\phi$ est une fonction continue bornée positive sur $\mathbb R$.

Beaucoup de définition ou de résultats en proba passent par des espérance de fonctions continues bornées. Le fait est que la connaissance de chaque $\mathbb E(\phi(Z))$, avec $\phi$ continue bornée (positive), caractérise la loi de $Z$, au sens où, si $\mathbb E(\phi(Z)) = \mathbb E(\phi(Z'))$ pour toute telle fonction, alors $Z$ et $Z'$ ont la même loi.

Heureusement qu'elle n'est pas donnée explicitement, puisqu'elle doit être quelconque ! Le but de la méthode développée est de mettre en évidence la densité de la variable aléatoire $U+V$. Pour tout fonction $\phi$ continue, bornée et positive sur $\mathbb R$, on a \begin{align*}\mathbb E(\phi(U+V)) &= \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \phi(u+v) e^{-u} e^{-v} \,du\,dv\\ &= \int_0^{+\infty} \left(\int_{v}^{+\infty} \phi(t) e^{-(t-v)} \,dt \right) e^{-v} \,dv\\ &= \int_0^{+\infty} \phi(t) t e^{-t} \,dt\\ &= \mathbb E(\phi(Z))\end{align*} où $Z$ suit la loi $\Gamma(1, 2)$. Avec ce dont je t'ai parlé ci-dessus, ça permet de conclure.

Si tu connais déjà le résultat qui te dit que ce sera le produit de convolution des densités de $U$ et de $V$ alors tu n'as pas besoin de passer par tout ça pour obtenir la densité, donc la loi, de $U+V$.

N'importe quel livre de proba de niveau L3. Par exemple le tome 2 de Jean-Yves Ouvrard.