Partition entier

indication :
si $X$ est positif et $E(X)<+\infty$ alors $X<\infty$ presque surement

Sauf erreur de calcul (ce qui est très possible de ma part), j'ai trouvé en remplaçant les exponentielles par leur définition :
\[
\frac{ \mathbb{E}(N) - \frac{e^{-\beta}}{\beta(1-e^{-\beta})} }{ \frac{e^{-\beta}}{\beta(1-e^{-\beta})} }
= (1-e^{-\beta}) \, \sum_{k=1}^{+\infty} { e^{-(k-1)\beta} \frac{ \textstyle \sum_{i=2}^{+\infty} \frac{(-k \beta)^i}{i!} }{ \textstyle \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{(-k \beta)^i}{i!} } }
\]
ce qui me semble bien tendre vers 0 quand $\beta$ tend vers 0 par valeurs supérieures. J'imagine qu'on peut dire pour l'obtenir que le terme de la somme sur $k \geq 2$ est de la forme $\exp$ fois fonction rationnelle donc $o(\beta^2)$.

Variante de ce que suggère BobbyJoe :
\begin{align*}
E(N) & = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k\,e^{-\beta k}}{1-e^{-\beta k}}\\
& = \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{r=1}^{+\infty} k\,e^{-\beta k r}\\
& = \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{e^{-\beta r}}{(1-e^{-\beta r})^2}.

\end{align*} Puisque $\varphi : x \mapsto x^2 e^{-x}/{(1-e^{-x})^2}$ est bornée sur $\left]0;+\infty\right[$ et se prolonge par continuité en $0$ avec $\varphi(0)=1$, on en déduit par convergence normale de la série de fonctions : $$

\beta^2 E(N) = \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{\varphi(\beta r)}{r^2}\ \xrightarrow[\beta\to0^+]{}\ \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{\varphi(0)}{r^2} = \zeta(2).


$$ (le théorème de convergence dominée permettrait d'aller plus vite ici)