Partition entier
Bonjour, je bloque complètement sur cet exercice, je ne sais pas par où commencer.
Soit $\beta>0$ et $(X_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$. On suppose que pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ et $j\in\mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X_k=j)=e^{-\beta kj}(1-e^{-\beta k})$, on pose $N=\sum_{k=0}^{+\infty}{kX_k}$.
(a) Montrer que $N$ est presque sûrement fini.
(b) Déterminer un équivalent de $\mathbb{E}(N)$ et $\mathbb{V}(N)$ lorsque $\beta\rightarrow 0^+$.
Merci de votre aide.
Soit $\beta>0$ et $(X_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$. On suppose que pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ et $j\in\mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X_k=j)=e^{-\beta kj}(1-e^{-\beta k})$, on pose $N=\sum_{k=0}^{+\infty}{kX_k}$.
(a) Montrer que $N$ est presque sûrement fini.
(b) Déterminer un équivalent de $\mathbb{E}(N)$ et $\mathbb{V}(N)$ lorsque $\beta\rightarrow 0^+$.
Merci de votre aide.
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Réponses
si $X$ est positif et $E(X)<+\infty$ alors $X<\infty$ presque surement
\[
\frac{ \mathbb{E}(N) - \frac{e^{-\beta}}{\beta(1-e^{-\beta})} }{ \frac{e^{-\beta}}{\beta(1-e^{-\beta})} }
= (1-e^{-\beta}) \, \sum_{k=1}^{+\infty} { e^{-(k-1)\beta} \frac{ \textstyle \sum_{i=2}^{+\infty} \frac{(-k \beta)^i}{i!} }{ \textstyle \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{(-k \beta)^i}{i!} } }
\]
ce qui me semble bien tendre vers 0 quand $\beta$ tend vers 0 par valeurs supérieures. J'imagine qu'on peut dire pour l'obtenir que le terme de la somme sur $k \geq 2$ est de la forme $\exp$ fois fonction rationnelle donc $o(\beta^2)$.
\begin{align*}
E(N) & = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k\,e^{-\beta k}}{1-e^{-\beta k}}\\
& = \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{r=1}^{+\infty} k\,e^{-\beta k r}\\
& = \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{e^{-\beta r}}{(1-e^{-\beta r})^2}.
\end{align*} Puisque $\varphi : x \mapsto x^2 e^{-x}/{(1-e^{-x})^2}$ est bornée sur $\left]0;+\infty\right[$ et se prolonge par continuité en $0$ avec $\varphi(0)=1$, on en déduit par convergence normale de la série de fonctions : $$
\beta^2 E(N) = \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{\varphi(\beta r)}{r^2}\ \xrightarrow[\beta\to0^+]{}\ \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{\varphi(0)}{r^2} = \zeta(2).
$$ (le théorème de convergence dominée permettrait d'aller plus vite ici)