Extension de la mesure de Lebesgue

Je suppose l'axiome du choix dans toute cette discussion.

On se place dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$.
Soit $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ sa tribu des boréliens. On sait qu'il existe une unique mesure $\Lambda_n$ sur $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$, appelée mesure de Borel-Lebesgue, qui correspond à notre notion intuitive de volume, c'est-à-dire que $\Lambda_n$ est telle que

le volume d'un pavé de dimension $n$ – produit cartésien de $n$ intervalles – est égal au produit des longueurs de chaque intervalle,

et elle vérifie les propriétés :

1. Toute isométrie linéaire laisse invariant le volume,
2. Toute translation laisse invariant le volume,
3. Toute homothétie de rapport $k$ multiplie le volume par $\lvert k \rvert^n$.

Je sais également qu'on peut prolonger cette mesure de manière à conserver ces trois propriétés. Mais on ne peut pas le faire sur la tribu $\mathcal{P}(\mathbb{R})$, cf. le théorème de Banach-Tarski.


I) Mon premier souci, c'est que je remarque d'après la définition de Wikipédia que l'on choisit de définir la mesure de Lebesgue $\lambda_n$ comme la plus petite mesure complète qui prolonge $\Lambda_n$.
Pourquoi la plus petite mesure complète ? Pourquoi pas la (ou une) plus grosse mesure qui vérifie les trois propriétés énoncées ci-dessus ? Ou est-ce que $\lambda_n$ est en fait aussi la plus grosse mesure en question ? Sinon, sait-on quelle est la plus grosse tribu d'une telle plus grosse mesure ?


II) Ensuite, quelles sont les propriétés « maximales » que peut vérifier un prolongement $\mu$ de la mesure de Borel-Lebesgue (et de Lebesgue) sur la tribu des parties de $\mathbb{R}^n$ ?
On sait qu'elle ne peut pas vérifier les trois propriétés à la fois, mais il me semble naturel que l'on pourrait avoir par exemple les propriétés 2. et 3. ainsi que l'invariance par un sous-groupe des isométries linéaires (contenant peut-être la symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan en particulier et aucun autre pour éviter d'autoriser les rotations).
Peut-être également que l'on pourrait prolonger d'une autre manière, pour conserver cette fois-ci la propriété 1., mais sans la 2. et la 3. ; même si ça me semble difficile, il ne faut pas oublier que les trois propriétés restent vérifiées pour la sous-tribu des boréliens, et Banach-Tarski pourrait ainsi tout de même réussir à pointer le bout de son nez à la moindre rotation…


III) En maths, je me renseigne essentiellement sur internet (et un peu en réfléchissant par moi-même), mais je m'étonne de n'avoir pu trouver (presque) aucune information sur ces questions.
Je m'interroge donc sur cette absence : est-ce que c'est parce qu'il n'y a pas unicité du prolongement ? Qu'un prolongement est non constructif, j'entends par là qu'il fait obligatoirement appel à l'axiome du choix (puisque l'on sait qu'il existe d'autres axiomes incompatibles telle que "ZF+un de ces axiomes" implique que toute partie de $\mathbb{R}^n$ est Lebesgue-mesurable) ? Est-ce que j'ai mal cherché, ou bien il faut aller dans une bibliothèque (beuh…) pour trouver ? Ou encore, ça n'intéresse pas les mathématiciens, qui se contentent très bien d'une mesure restreinte aux boréliens (ou à la réunion des boréliens et des parties négligeables), d'autant plus que cette mesure est unique ?


Bien entendu, la question III) est peut-être moins mathématique, je cherche avant tout des réponses à mes deux premières questions, et si j'ai mal cherché, des références disponibles en ligne pour me renseigner sur le sujet.
Merci d'avance pour vos réponses, n'hésitez pas à me demander si ce que j'ai dit n'est pas clair :-).