Vecteur gaussien

C'est vrai (si par fonction tu entends fonction borélienne), mais le caractère gaussien ne joue aucun-rôle là-dedans.

Comme pour les variables aléatoires usuelles, les tribus engendrées sont indépendantes.

On dit que deux vecteurs (ou deux variables) $X$ et $Y$ sont indépendants si pour tous les boréliens $A$ et $B$ les évenements $\{X\in A\}$ et $\{Y\in B\}$ sont indépendants.

D'autre part, on dit qu'une fonction $f$ est borélienne si pour tout borélien $A$, l'ensemble $f^{-1}(A)$ est un borélien.

Avec ses deux définitions en main, il n'est pas difficile de voir que si $X$ et $Y$ sont indépendants et que $g$ et $h$ sont des fonctions boréliennes, $g(X)$ et $h(Y)$ sont indépendants.

Dans ce qui suit, le qualificatif borélien pour les ensembles est relatif à l'espace ambiant: borélien de $\R$ ou borélien de $\R^d$, suivant les cas.