Théorème de Birkhoff et changement d'indice

Soit $(X, \mu)$ un espace probabilisé ($\mu(X) = 1$) et $\Phi : X\to X$ une application préservant la mesure (ie $\mu(A)= \mu (\Phi^{-1}(A)) $). Si l'on se donne une fonction $f \in L^1(X)$ le théorème de Birkhoff nous dit qu'il existe une fonction $g\in L^1(X)$ telle que \[

S_n :=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \circ \Phi^k \xrightarrow[n\to \infty]{} g \; \mu \text{-pp }

\] et de plus $\int g d \mu = \int f d \mu$. En écrivant $S_{n+1}=\frac{n}{n+1}S_n + \frac{1}{n+1}f\circ T^{n+1}$ et comme la suite converge presque partout on en déduit que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ presque partout. On peut donc sommer pour $k$ allant de $1$ à $n$ et les conclusions du théorème de Birkhoff restent vraies.

Ma question est la suivante : comment démontrer que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ $\mu$-pp de façon élémentaire ? Ou en tout cas sans utiliser le théorème de Birkhoff. J'ai trouvé une démonstration sans utiliser Birkhoff mais j'ai l'impression de rater quelque chose et qu'on pourrait faire plus simple. Voici ma démonstration.

On peut supposer $f$ positive (ou bien considérer la fonction $|f|$, cela revient au même). D'après le principe de Cavalieri on a \[

\int_X f d \mu = \int_{\R_+} \mu (f^{-1}([t; + \infty [)) dt <\infty

\] et comme la fonction $t\mapsto \mu (f^{-1}([t; + \infty [)) $ est décroissante une comparaison série/intégrale donne \[

\sum_{n=1}^\infty \mu (f^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)) < \infty

\] pour tout $\varepsilon >0$. Puisque $\Phi$ préserve la mesure on a aussi \[

\sum_{n=1}^\infty \mu ((f\circ T^n)^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)) < \infty

\] et par Borel-Cantelli on en déduit que la lim sup des ensembles $(f\circ T^n)^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)$ est de mesure nulle pour tout $\varepsilon >0$. Ceci revient exactement à dire que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ presque partout.