Fonctions mesurables et intégration

Avec un petit changement de variables on trouve pour tout $n \geq 1$, $$\int_{[a,b]} g_n(x) \,d\lambda(x) = n \int_a^b f\left(x+\frac{1}{n}\right) \,d\lambda(x) - n \int_a^b f(x) \,d\lambda(x) = n\int_{a+ \frac{1}{n}}^{b+ \frac{1}{n}} f(x) \,d\lambda(x) - n \int_a^b f(x) \,d\lambda(x)$$ et la relation de Chasles donne donc que $$\int_{[a,b]} g_n(x) \,d\lambda(x) = n\left(\int_b^{b+ \frac{1}{n}} f(x) \,d\lambda(x) - \int_a^{a+ \frac{1}{n}} f(x) \,d\lambda(x)\right)$$ et la conclusion de 1) permet de conclure.