Intégrales curvilignes et mesure

Les intégrales curvilignes, c'est encore un de ces trucs pour lesquels on m'a donné une définition "ad hoc" quand on avait besoin d'en parler (définition de $\pi$, de $\cos$, calcul différentiel...), mais où l'on ne m'a jamais donné une définition que je trouverais propre et générale. Il se trouve que j'ai appris la théorie de la mesure en Licence, et j'aimerais bien redéfinir les intégrales curvilignes avec.

Première destination : l'article Wikipédia. Je prendrai leurs notations ici.

EDIT :

En probabilités, quand on a une variable aléatoire numérique (application mesurable) $V$ sur un espace probabilisé (mesuré) $(\Omega, \mathcal{T}, \mathbb{P})$, et qu'on veut calculer l'espérance (l'intégrale) de $f(V)$ par rapport à la probabilité (mesure), on écrit $\mathbb{E}(f(V)) = \displaystyle \int_{\Omega} f(V) \text{d} \mathbb{P}$. Ceci étant hyper abstrait, on passe d'abord à $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x) \text{d} \mathbb{P}_V$ où $\mathbb{P}_V$ est la loi de (mesure image de $\mathbb{P}$ par) $V$, puis à une intégrale de Lebesgue classique $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x)h(x) \text{d}x$ en utilisant la densité $h$ de la loi de $V$.

Ici, mon problème c'est l'inverse : on me propose comme définition $\displaystyle \int_{\Gamma}f \text{d}s = \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$ pour l'intégrale de $f : \Gamma \longrightarrow \mathbb{R}$ sur un arc $\Gamma \subseteq \mathbb{R}^n$, donc on me propose une façon de passer de l'abstrait à quelque chose que je sais calculer, mais j'aimerais savoir comment est défini l'espace mesuré (associé à $\Gamma$) sur lequel je veux définir mon intégrale. $s$ devrait être une mesure, pas juste une notation, j'aimerais comprendre qui c'est et sur quelle tribu elle est définie. L'égalité de la définition devrait me paraître plus justifiée et moins "ad hoc" après.

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[small]Il y a plusieurs définitions dedans, celle qui m'intéresse pour l'instant est celle où ils posent $\displaystyle \int_{\Gamma}f \text{d}s = \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$.

Sauf que voilà, je trouve que cette définition n'est pas bien précisée dans l'article.

Ce que moi je connais (en tout cas, pour ce qui m'intéresse ici), c'est : on suppose $\mathbb{R}$ muni de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue $\lambda$, on se donne un espace mesuré $(X, \mathcal{M}, \mu)$ et une application $f : X \longrightarrow \mathbb{R}$ supposée mesurable, alors j'ai dans mes cours/bouquins une définition de $\displaystyle \int_X f \text{d}\mu$. De plus, si $A \subseteq X$, on peut définir $\displaystyle \int_A f \text{d}\mu := \displaystyle \int_X (f 1_A) \text{d}\mu$, où $1_A$ est l'indicatrice de $A$ dans $X$.

(Petite précision : ici, $\mu$ est une application $\mathcal{M} \longrightarrow [0;\infty]$, donc une mesure positive. Je sais qu'il en existe d'autres types, mais il n'y a que celles-là que je connais bien, au cas où ça jouerait un rôle ici.)

Donc, dans l'article, on part de $f : \Gamma \longrightarrow \mathbb{R}$ qui est une application continue.

Dans mon triplet $(X, \mathcal{M}, \mu)$, on a donc déjà $X = \Gamma$... ou bien, $X = \mathbb{R}^n$ et $A = \Gamma$. Je ne sais pas trop si ça fait une grosse différence.

Je suppose que, pour parler de continuité, la topologie sur $\Gamma := \gamma([a;b]) \subseteq \mathbb{R}^n$, c'est la topologie usuelle de $\mathbb{R}^n$, restreinte à $\Gamma$. Je sais qu'une application continue entre deux espaces topologiques est mesurable pour les tribus boréliennes associées, je veux utiliser ça pour justifier que $f$ est bien mesurable sous les hypothèses de l'article. Mais du coup, il me faudrait la bonne tribu borélienne sur $\Gamma$... si je considère la topologie induite sur $\Gamma$ par celle de $\mathbb{R}^n$ (note pour moi et ma mémoire de poisson rouge : celle obtenue en intersectant les ouverts de $\mathbb{R}^n$ avec $\Gamma$), j'obtiens une topologie sur $\Gamma$ à laquelle est associée une tribu borélienne sur $\Gamma$.

Question 0 : est-ce que cette tribu borélienne sur $\Gamma$ peut être obtenue en "restreignant à $\Gamma$" celle de $\mathbb{R}^n$ d'une certaine manière ?

Ensuite, il y a le $\text{d}s$. Pour ça, il faudrait que $s$ soit une mesure sur $\Gamma$, mais $s$ n'est définie nulle part... ils définissent un $s_{\gamma}$, mais visiblement, ce n'est pas le même objet puisqu'ils notent les deux différemment et utilisent les deux dans la formule $\displaystyle \int_{\Gamma}f \text{d}s = \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$. Donc $s$, c'est censé être quelle mesure maintenant ? Résumé :

Question 1 : si l'intégrale $\displaystyle \int_{\Gamma}f \text{d}s$ doit être définie au sens de Lebesgue, faut-il considérer
- $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}f1_{\Gamma} \text{d}s$, où $f$ est définie sur $\mathbb{R}^n$ muni de sa tribu borélienne, mais dans ce cas, qui est $s$ (et peut-on relier $s$ à la mesure de Lebesgue) ?
ou
- $\displaystyle \int_{\Gamma}f \text{d}s$ directement, où $f$ est définie sur l'espace mesuré $(\Gamma, \mathcal{G},s)$ ? Et dans ce cas, qui sont $\mathcal{G}$ et $s$ précisément ?

Et là, je n'ai même pas encore regardé le côté droit de l'égalité, alors allons-y.

$\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$, c'est déjà plus proche de ce que je sais déchiffrer. $(f \circ \gamma) : [a;b] \longrightarrow \mathbb{R}$ est une gentille fonction numérique, sauf qu'on ne l'intègre pas par rapport à la mesure de Lebesgue ici, visiblement. Il faudrait donc que $s_{\gamma}$ soit une mesure sur $[a;b]$. $s_{\gamma}$, c'est l'abscisse curviligne le long de $\Gamma$.

Direction l'article Wikipédia sur l'abscisse curviligne, où visiblement il faudrait que $\gamma$ soit de classe $\mathcal{C}^1$ pour que leur définition marche, ce qui n'est pas mon cas ici en toute généralité (remarque : ici, au moins, on définit un $\text{d}s$ par rapport à la mesure de Lebesgue). Cependant, dans cet autre article, on définit la longueur d'un arc simplement supposé continu, ce qui m'arrange davantage. Et avec cette définition-là, je peux me retrouver avec une fonction $s_{\gamma} : [a;b] \longrightarrow [0;\infty]$, $t \longmapsto$ longueur du morceau de $\Gamma$ pour les paramètres de $a$ jusqu'à $t$. J'ai l'impression que $s_{\gamma}$ définit bien une mesure positive, en regardant vite-fait les axiomes d'une mesure ça a l'air de marcher sans problème.

Donc $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$, a priori, c'est au moins un truc qui existe. Quand $\gamma$ est $\mathcal{C}^1$, il faudrait démontrer que $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$ est égal à $\int_a^b f(\gamma(t)) ||\gamma'(t)||\text{d}t$, et à partir de cette formule, on a une intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue que je suis censé pouvoir calculer.

La question subsidiaire ici, c'est : quand $\gamma$ n'est pas $\mathcal{C}^1$, comment calcule-t-on $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma) \text{d}s_{\gamma}$ ? (ou bien : comment se ramène-t-on à une intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue)

Voilà. Désolé pour ce mur de texte, mais au moins maintenant j'ai en un seul message toutes les notations et tout le travail que j'ai déjà fourni pour essayer d'identifier ce que je n'ai pas compris. J'ai numéroté les questions principales parce que, vu le bazar que c'est, je pressens déjà que je vais devoir poser d'autres grosses questions comme ça, et on finira par s'y perdre.

Au passage, une question que j'hésite à poser, parce que je ne sais pas si elle va simplifier ou compliquer mon bazar, c'est : peut-on déduire cette définition d'intégrale curviligne d'une définition générale de l'intégrale d'une forme différentielle ? Parce que si oui, je préfère m'épargner le gros du travail, (re)prendre les définitions d'intégrales de formes différentielles directement, bien comprendre ça et voir comment m'en servir pour obtenir la définition d'intégrale curviligne dont il est question ici.[/small]