Le rayonnement de 0.81
On développe un réel de l'intervalle $[0,1]$ en fraction continue.
Quelle est la probabilité que $0.81$ soit l'une de ses convergentes (réduites) ?
Quelle est la probabilité que $0.81$ soit l'une de ses convergentes (réduites) ?
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Réponses
On regarde la fraction continue de $0,81$, sauf erreur de ma part on trouve $[0;1,4,3,1,4]$, un réel $x$ aura donc $0,81$ comme convergent si et seulement si on peut l'écrire $[0;1,4,3,1,y]$ avec $y\in [4;5[$. Puisque la fonction $y\mapsto [0;1,4,3,1,y]$ est monotone il suffit de calculer
\[
| [0;1,4,3,1,4] - [0;1,4,3,1,5] |.
\]
Je trouve $0.81-98/121 = 0.00008264462$ personnellement.
Dans le premier cas le développement de $x$ est $[0,1,4,3,1,4,\cdots]$ .
Le le plus petit nombre dans ce cas est $98/121$ :
$$
\begin{matrix}
*&*&0&1&4&3&1&4&1\\
0&1&0&1&4&13&17&81&98 \\
1&0&1&1&5&16&21&100&121
\end{matrix}$$
Dans le cas où 0.81 est une approximation par défaut on trouve
$$
\begin{matrix}
*&*&0&1&4&3&1&3&1&1\\
0&1&0&1&4&13&17&64&81&145 \\
1&0&1&1&5&16&21&79&100&179
\end{matrix}$$
La probabilité cherchée est $145/179-98/121=3/21\,659\approx 0.000\,138\cdots$
$$
\frac{\ln 13\,068 - \ln 13\,067}{\ln 2} \approx 0.000\,110
$$