Égalité de variables aléatoires

Paul.P
Paul.P
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
On considère deux lois X et Y indépendantes et suivant une loi uniforme discrète sur [1,n] et on cherche la probabilité pour que X=Y.
Si on part sur les couples de variables aléatoires alors cette proba vaut 1/n.
Mais pourquoi ne peut-on pas considérer X et Y comme surjectives à valeurs dans [1,n] (voire même bijective si on prend une "bon" univers ?), et alors cette proba vaudrait l'inverse du nombre de surjection de L'espace sur [1,n],

Réponses

  • P.
    P.
    Tout depend de la loi que tu mets sur ton nouvel univers. Si par exemple $\Omega=\{1,2,3,4\}^2$ et que pour $w=(i,j)\in\Omega$ tu definis

    $X(w)=i$ si $i=1,2,3$ et $X(w)=3$ si $i=4$ plus $Y(w)=j$ si $j=1,2,3$ et $Y(w)=3$ si $j=4$ tu auras bien $X$ et $Y$ uniformes et independantes si tu prends soin de definir la probabilite suivante sur $\Omega$

    P(w)=1/9 si i et j=1,2; P(w)=1/18 si i=3,4 et j=1,2; P(w)=1/18 si j=3,4 et i=1,2; P(w)=1/36 si i, j=3,4


    Mais si tu mets sur $\Omega$ la probabilite unifome, $X$ et $Y$ seront independantes encore mais plus uniformes sur $\{1,2,3\}.$
  • Paul.P
    Paul.P
    Mais si on prend la probabilité uniforme avec par exemple pour l'univers {B,V,R}. Si on se donne une variable X suivant une loi uniforme sur [1,3], la probabilité qu'une variable Y suivant la meme loi soit égale n'est pas plutot 1/3! ?Ce qui donne une probabilité différente de 1/3 donnée par la formule. Si l'on somme les probabilité comme dans la formule de probabilité de couples, P(X=Y=k) pour k allant de 1 à n, on a plutot la probabilité qu'elles aient une valeur commune.
  • P.
    P.
    Comprends rien Qui sont BVR? Et [1,3] veut il dire $\{1,2,3\}?$ ...donnee par la formule… quelle formule? Et pourquoi 'plutot' dans ta derniere phrase?
  • Paul.P
    Paul.P
    Je prends un exemple. On a 3 boules(bleu, rouge, vert). Expérience : On en pioche une au hasard.
    Soit X la fonction de {B,V,R} dans {1,2,3} telle que X(R)=1,X(V)=2,X(B)=3.
    X suit une loi uniforme de support {1,2,3}.
    Soit Y une fonction de {B,V,R} dans {1,2,3}, suivant la meme loi uniforme, indépendante de X (donc dans ce cas, Y doit etre bijective).
    On a par exemple pour Y la possibilité Y(R)=1,Y(V)=3,Y(B)=2.
    Dans ce cas, je dirais P(X=Y)=1/3! .

    Mais, on a aussi P(X=Y)= P(X-Y=0)= somme de P(X=k,Y=k) sur {1,2,3}=1/3
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Paul.P

    "Dans ce cas, je dirais P(X=Y)=1/3! ."
    On peut le dire. On peut dire aussi P(x=y) = 0,5, si on veut.
    Mais est-ce vrai ?

    Tu ne justifies par aucune règle de probabilités ton affirmation, donc c'est du flan. Le fait de dire que le nombre de surjections est 3! ne parle pas des probabilités.

    Donc soit tu trouves une justification probabiliste de ton affirmation, soit tu baratines inutilement.

    Cordialement
  • Paul.P
    Paul.P
    Y est un fonction bijective de {B,V,R} dans {1,2,3}. Il y en a 3!.
    Sur ces 3! fonctions, seule 1 est égale à X.
    Si on en prend une au hasard (on considère la probabilité uniforme), la probabilité d'avoir X=Y est 1/k!. (nombre de cas favorable/nombre de cas possible).

    Gérard, je comprends bien qu'il y a un problème, je ne comprends juste pas lequel, je n'essaie donc pas de vous convaincre mais de comprendre mon erreur ...
  • Siméon
    Siméon
    Attention $X,Y$ sont deux fonctions fixées et $(X = Y)$ est juste une notation pour l'ensemble des $\omega \in \Omega$ tels que $X(\omega) = Y(\omega)$.
    Il ne s'agit pas de comparer deux fonctions aléatoires $X,Y$ comme tu le suggères.
  • lourrran
    lourrran
    Dans le 1er message, tu envisages : la proba serait 'inverse du nombre de surjections ou bijections...

    On va revenir à des exemples courants, on tire des boules dans des urnes.

    J'ai une urne avec n boules numérotée de 1 à n, et une 2ème urne avec également n boules numérotées de 1 à n.
    Situation n°1 : Je prends une boule dans chaque urne, quelle est la probabilité d'avoir choisi le même n° dans les 2 urnes.
    Situation n°2 : Je prends toutes les boules dans l'urne n°1, et je note dans quel ordre les boules ont été choisies.
    Et idem pour l'urne n°2.
    Et je calcule la probabilité que l'ordre des boules soit le même dans les 2 urnes.
    C'est beaucoup plus ambitieux, puisqu'il faut avoir de la chance quand on tire la 1ère boule, et à nouveau de la chance quand on tire la 2ème boule etc.

    Et là, effectivment, on tombe sur l'inverse du nombre de bijections.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Paul.P
    Paul.P
    Merci Siméon et Lourrran . Dans P(X=Y), on demande la situation 1 de Lourran et non la 2 comme je l'ai compris. J'avais donc un problème de notation. Merci
  • gerard0
    gerard0
    Ah, je viens de comprendre !!

    Y n'est pas une "fonction bijective de {B,V,R} dans {1,2,3}." C'est une variable aléatoire. Définie sur un espace probabilisé qui n'a pas d'importance dans ce qu'on fait ici. Et qui n'a aucune raison d'être {B,V,R}.

    Tu traites, avec ton 3! la situation aléatoire où connaissant une bijection X de {B,V,R} sur {B,V,R}, on choisit avec équiprobabilité une bijection Y de {B,V,R} sur {B,V,R} et on se propose de calculer P(X=Y). pas de variable aléatoire ici, juste une épreuve probabiliste élémentaire.

    Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 29

CongruDomFin de partieJLTOShinebiguine_equationchanignicolas.patroisstfjzygomathique +19 Invités