Probabilités - théorème de Weierstrass

Ce serait bien de mettre un pointeur vers « la » démonstration pour savoir de quoi on parle précisément, les notations, tout ça.

Pourquoi les $p_n$ sont-ils des polynômes ? Soit $X$ la var. On cherche l'espérance de l'image par $f$ de $X/n$. Les valeurs possibles prises par $X/n$ sont les $k/n$ où $k$ décrit $\{0,\dots,n\}$. La probabilité que $X/n=k/n$ est $\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$. Par le théorème de transfert, l'espérance de $f(X/n)$ est donc \[p_n(x)=\sum_{k=0}^nf\Bigl(\frac{k}n\Bigr)\cdot\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k},\]qui est visiblement un polynôme.

La suite à prendre avec des pincettes, sous couvert des probabilistes du forum... Heuristiquement, on joue $n$ fois à pile ou face avec une pièce biaisée : à chaque lancer, on avance de $1/n$ avec probabilité $x$ et on reste sur place avec probabilité $1-x$ (ou l'inverse ?). La variable $X/n$ dit où on arrive à la fin et $f(X/n)$ décrit le gain. On se demande « combien on va gagner en moyenne ». Pour $n$ grand, la loi des grands nombres dit que $X/n$ converge vers $x$ (en quel sens au fait ?). Ce n'est pas très étonnant que l'espérance du gain converge vers $f(x)$.

C’est un développement d’agrégation interne « ultra classique ».
Ça doit se trouver en sept secondes.