Fonction caractéristique

diegau · September 2019

Bonjour,
je suppose qu'une variable aléatoire est centrée réduite sans savoir si elle est gaussienne.
Que dire de sa fonction caractéristique Fi ?

Le but est de trouver la limite en 0 de ( 1 -Fi )/ t²
Cette limite vaut 1/2 mais comment le prouver ?

Poirot · September 2019

Puisque $X$ est $L^2$ tu as $\Phi_X(t) = 1 + it\mathbb E(x) - \frac{t^2}{2} \mathbb E(X^2) + o(t^2)$ quand $t \to 0$.

diegau · September 2019

Effectivement ca résout la question mais je trouve ce dl comment ?

aléa · September 2019

Formule de Taylor + intégrale (espérance) à paramètre.

Poirot · September 2019

Plus précisément, tu peux montrer que $\Phi_X$ est de classe $\mathcal C^2$ avec le théorème de différentiation sous l'intégrale, tu trouves au passage les valeurs $\Phi_X'(0) = \mathbb E(X)$ et $\Phi_X''(0) = \mathbb E(X^2)$ puis tu appliques Taylor.

diegau · September 2019

Oui ca me parle ... merci !
Il était conseillé d'utiliser un dl des fonctions sin et cos.
Un petit conseil pour cette méthode ?

Fonction caractéristique

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