Kinderman et Monahan

Bonjour, voici mon problème du jour.

Soit $f$ une application borélienne de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R}_+$ et $\int f(x)dx = 1$.
On considère la région du plan $$

C_f = \big\{ (u,v) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 < u \leq \sqrt{f(\frac{v}{u})} ~ \big\}

$$ 1 - Montrer que $C_f$ est un borélien et que sa mesure de Lebesgue vaut $1/2$.
Si u et v est un couple de variables aléatoires uniformément distribuée,
2 - calculer $E[\phi(\frac{v}{u})]$, pour toute fonction $\phi$ bornée de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
3 - Montrer que $\frac{v}{u}$ est une v.a. qui suit la loi de densité $f$.

Je rencontre une difficulté pour montrer que la mesure de ce domaine vaut $1/2$ et pour le calcul de l'espérance.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]