Monte Carlo
Bonjour à tous
La méthode de Monte Carlo pour calculer une intégrale $I := \int_{D} f(x)d\lambda (x)$. Comment ça marche ?
Je pense que l'idée c'est de considérer $1_{D}$ avec $D$ le domaine sur lequel on intègre. Puis ($D$ n'est pas de mesure de Lebesgue nulle) $I = \lambda(D) E(f(X))$ avec $X$ qui suit la loi uniforme sur $D$.
Puis on prend une suite de vaiid de loi uniforme sur $D$ et on dit que la moyenne de Césaro converge par la LFGN.
Après on voit bien que je n'ai pas fini parce que je n'ai pas calculé $\lambda(D)$.
La méthode de Monte Carlo pour calculer une intégrale $I := \int_{D} f(x)d\lambda (x)$. Comment ça marche ?
Je pense que l'idée c'est de considérer $1_{D}$ avec $D$ le domaine sur lequel on intègre. Puis ($D$ n'est pas de mesure de Lebesgue nulle) $I = \lambda(D) E(f(X))$ avec $X$ qui suit la loi uniforme sur $D$.
Puis on prend une suite de vaiid de loi uniforme sur $D$ et on dit que la moyenne de Césaro converge par la LFGN.
Après on voit bien que je n'ai pas fini parce que je n'ai pas calculé $\lambda(D)$.
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Réponses
Une autre approche est de considérer l’intégrale comme valeur moyenne de la fonction (au coefficient «1/(b-a) » près)
Ça fait un peu penser aux sommes de Riemann avec une subdivision aléatoire (uniforme).
Les espérances des deux approches sont différentes.
La deuxième peut fonctionner même avec des fonctions non bornées (la première l’exige car on a besoin d’un domaine borné, dans le quotient, au dénominateur).
Je me demandais qu'elle est alors la marge d'erreur et, aussi l'intervalle de confiance sur l'estimation de l'intégrale ? Auriez-vous aussi un bel exemple d'une intégrale quadruple, quintuple...approximée par simulation Monte-Carlo avec le pseudo-code ?
Merci.
Cordialement.
Mais ce n'est qu'en intégrale simple, certes.
Je n'ai rien de tout ça en magasin.
Cependant, Bienaymé -Tchebychev est certainement la première chose à regarder pour les gens comme moi, non spécialistes. Cela donne les intervalles de confiance en utilisant l'espérance et la variance (lorsque cela existe).
Cordialement.
Ajout : je pensais à une intégrale strictement supérieur à 3 tirée de la physique/biologie..C'est un peu dommage de simuler une intégrale sans pouvoir juger de sa qualité d'estimation.
Et ce quelle que soit la dimension ?
C'est un peu dommage d'avoir du $1/\sqrt{n}$ quand on peut avoir du $\exp(-\alpha n)$.
Heu ceci dit j’ai une question : est-ce avec une inégalité de Chernoff que l’on peut obtenir cette « vitesse » ?