Monte Carlo

Gentil
Gentil
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous
La méthode de Monte Carlo pour calculer une intégrale $I := \int_{D} f(x)d\lambda (x)$. Comment ça marche ?

Je pense que l'idée c'est de considérer $1_{D}$ avec $D$ le domaine sur lequel on intègre. Puis ($D$ n'est pas de mesure de Lebesgue nulle) $I = \lambda(D) E(f(X))$ avec $X$ qui suit la loi uniforme sur $D$.
Puis on prend une suite de vaiid de loi uniforme sur $D$ et on dit que la moyenne de Césaro converge par la LFGN.
Après on voit bien que je n'ai pas fini parce que je n'ai pas calculé $\lambda(D)$.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Je tente ma chance (sous couvert des probabilistes du forum). Pour estimer $\lambda(D)$, tu joues en même temps au même jeu en prenant pour fonction $f$ l'indicatrice de $D$. Ce qui incite à faire les choses suivantes :
    • trouver un pavé de mesure connue $P$ dans lequel $D$ est inclus ;
    • initialiser un entier $k$ à $0$ et un flottant $S$ à $0.$ ;
    • faire un certain nombre $n$ de fois :
      • choisir uniformément un point $x$ de $P$ ;
      • tester s'il est dans $D$ :
        • si oui, ajouter $1$ à $k$ et $f(x)$ à $S$ ;
        • sinon, rien ;
    • renvoyer $\frac{k}n\lambda(P)$ comme approximation de $\lambda(D)$ et $\frac1kS$ comme approximation de $E(f(X))$.
  • Gentil
    Gentil
    Bon ça à l'air d'être la bonne réponse puisque personne n'intervient. Alors merci.
  • Math Coss
    Math Coss
    Moui... Quelques tests numériques sur des cas où je connais la réponse me donneraient un peu plus de conviction.
  • Dom
    Dom
    Naïvement, ce qui est décrit précédemment est une approche de l’intégrale par l’aire sous la courbe (quotient aire/domaine).

    Une autre approche est de considérer l’intégrale comme valeur moyenne de la fonction (au coefficient «1/(b-a) » près)
    Ça fait un peu penser aux sommes de Riemann avec une subdivision aléatoire (uniforme).

    Les espérances des deux approches sont différentes.

    La deuxième peut fonctionner même avec des fonctions non bornées (la première l’exige car on a besoin d’un domaine borné, dans le quotient, au dénominateur).
  • jma
    jma
    Bonsoir,

    Je me demandais qu'elle est alors la marge d'erreur et, aussi l'intervalle de confiance sur l'estimation de l'intégrale ? Auriez-vous aussi un bel exemple d'une intégrale quadruple, quintuple...approximée par simulation Monte-Carlo avec le pseudo-code ?
    Merci.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    On a tous un jour ou l'autre testé Monte-Carlo avec $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ sur $[0;1]$, non ?
    Mais ce n'est qu'en intégrale simple, certes.

    Je n'ai rien de tout ça en magasin.
    Cependant, Bienaymé -Tchebychev est certainement la première chose à regarder pour les gens comme moi, non spécialistes. Cela donne les intervalles de confiance en utilisant l'espérance et la variance (lorsque cela existe).
  • jma
    jma
    Non, je cherche du lourd, du brutal pas du tout venant (estimer pi aussi !).;-)
    Cordialement.

    Ajout : je pensais à une intégrale strictement supérieur à 3 tirée de la physique/biologie..C'est un peu dommage de simuler une intégrale sans pouvoir juger de sa qualité d'estimation.
  • aléa
    aléa
    Ce n'est pas avec Tchebitchev que tu vas avoir une majoration correcte. Il faut se tourner vers des inégalités de type Chernoff.
  • Dom
    Dom
    De mémoire, le résultat n’est-il pas en (au moins) $\frac{C}{\sqrt{n}}$ ? ($n$ le nombre de lancers)
    Et ce quelle que soit la dimension ?
  • aléa
    aléa
    jma a dit qu'il ne voulait pas du tout venant...

    C'est un peu dommage d'avoir du $1/\sqrt{n}$ quand on peut avoir du $\exp(-\alpha n)$.
  • Dom
    Dom
    Oui merci aléa, tu as raison, je ressors sur la pointe des pieds.
    Heu ceci dit j’ai une question : est-ce avec une inégalité de Chernoff que l’on peut obtenir cette « vitesse » ?
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