Exercice élémentaire urne
Bonjour à tous.
Voici un petit exercice sur lequel j'aimerais avoir vos lumières.
Une urne contient initialement $n$ boules noires et $b$ blanches. On y réalise des tirages sans remise jusqu'à épuisement d'une des deux couleurs. Quelle est alors la probabilité que la couleur restante soit blanche ?
Je dispose d'une preuve basée sur une relation de récurrence satisfaite par la famille de probabilités associées mais j'aimerais savoir s'il y a plus direct.
Merci !
Voici un petit exercice sur lequel j'aimerais avoir vos lumières.
Une urne contient initialement $n$ boules noires et $b$ blanches. On y réalise des tirages sans remise jusqu'à épuisement d'une des deux couleurs. Quelle est alors la probabilité que la couleur restante soit blanche ?
Je dispose d'une preuve basée sur une relation de récurrence satisfaite par la famille de probabilités associées mais j'aimerais savoir s'il y a plus direct.
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Réponses
Soit $\sigma$ une variable aléatoire tirée uniformément dans $\mathfrak S_{b+n}$. La probabilité que $\sigma(n+b)\in \{1,...,b\}$ est égale à $\frac{b}{b+n}$.
Quelle est la probabilité que la 1ère boule tirée soit blanche.
Ou même : on tire une seule boule, quelle est la probabilité qu'elle soit blanche ?