Probabilité d'une réunion non dénombrable

mehdi
mehdi
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour

Soit G un ensemble (non nécessairement dénombrable) totalement ordonné (pour l'inclusion ) des événements d'un espace probabilisé sans atomes tel que:
Pour tout A de G, la probabilité P(A) est inférieure ou égale à 0,5.

A-t-on G admet un plus grand élément ? Une borne supérieure ? un majorant ?

Et s'il admet une borne supérieure S, comment je prouverai que P(S) est aussi inférieure ou égale à 0,5.
Merci

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Avant de chercher des réponses, examine des cas particuliers. Par exemple une probabilité uniforme sur [0;1] et G est l'ensemble des singletons.

    Puis, s'il te reste des questions de ce genre, précise la relation d'ordre que tu considères sur G.

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Tu n'imposes strictement rien entre ta probabilité et te relation d'ordre sur $G$, il n'y a donc aucune raison que tu puisses en déduire quoi que ce soit.
  • mehdi
    mehdi
    désolé pour tous,

    j'ai oublié une donnée importante

    et je rectifié mon premier message

    merci
  • Poirot
    Poirot
    Ma réponse n'a pas changé.
  • mehdi
    mehdi
    @Poirot
    l'ordre =l'inclusion
  • gerard0
    gerard0
    As-tu regardé l'exemple que je te proposais (*) ? Manifestement non !!!

    (*) Je soupçonnais les compléments que tu as fournis.
  • Poirot
    Poirot
    Ah oui, ça change tout. Tu peux regarder l'ensemble des $\left[0, \frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right[$ dans $[0, 1]$ muni de la tribu borélienne et la mesure de Lebesgue pour voir que $G$ n'a pas forcément de maximum. Par contre il y a toujours le majorant $\Omega$ (l'espace mesuré sur-jacent).

    @gerard0 : l'ensemble des singletons n'est pas totalement ordonné pour l'inclusion.
  • Math Coss
    Math Coss
    Pis entre les deux (un élément de $G$ et $\Omega$), y a une borne supérieure qui s'ignore encore.
  • Poirot
    Poirot
    @Math Coss : je ne sais pas si l'on peut affirmer l'existence d'une borne supérieure mesurable en général, mais peut-être qu'il y a un argument simple. En fait il y a une borne supérieure qui est simplement $\bigcup G$, mais si $G$ n'est pas dénombrable...
  • gerard0
    gerard0
    Ah oui,

    j'avais raté le "totalement ordonné".

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    C'est normal, mehdi n'avait pas donné toutes les hypothèses au départ, d'où nos messages du début.
  • mehdi
    mehdi
    Merci pour tous,

    L'exercice est dans

    " Neveu J. - Bases mathematiques du calcul des probabilites (1970). I-4-3 page 28/223.
  • mehdi
    mehdi
    Bonjour
    Dans un espace mesurable soit un sous-ensemble H quelconque (totalement ordonné pour l'inclusion) des parties mesurables

    A-t-on la réunion de toutes les parties de H est mesurable ?
    Merci.

    [Restons dans le fil que tu avais ouvert sur le même sujet. Poirot]
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Salut,
    Non pas forcément, parce qu’une tribu est stable par union dénombrable mais pas par union quelconque. Enfin ce que tu as mis entre parenthèse me fait douter mais je pense que ça ne change rien. Attend de voir les autres réponses.
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