Temps caractéristique, mouvement brownien
Bonjour,
Tout d'abord, j'ai fini mes études depuis bien longtemps, donc ceci n'est pas un exercice de cours. Ceci est un problème simplifié qui pourrait m'être utile de mieux comprendre dans mon travail.
Définissons un mouvement brownien $\ B_t$~$N(0,t)$.
Si $B_t$ est à n'importe quel moment au dessus du niveau $I$, alors nous injections une quantité $vdt$ d'une solution.
Nous nous intéressons au temps moyen pour qu'une quantité $Q$ soit injectée.
J'ai formulé le problème de la façon suivante pour le process : $$
G(I,T) = v \cdot \int_{0}^{T}(\mathbb{1}_{B_t>I})dt.
$$ Maintenant, quel est le temps moyen pour qu'une quantité $Q$ soit injectée ?
Je n'ai pas fait de calcul sto depuis 5 ans et j'ai des difficultés à comprendre comment avoir une solution avec cette fonction caractéristique.
Je serais vraiment reconnaissant de n'importe quelle aide sur le sujet !
Tout d'abord, j'ai fini mes études depuis bien longtemps, donc ceci n'est pas un exercice de cours. Ceci est un problème simplifié qui pourrait m'être utile de mieux comprendre dans mon travail.
Définissons un mouvement brownien $\ B_t$~$N(0,t)$.
Si $B_t$ est à n'importe quel moment au dessus du niveau $I$, alors nous injections une quantité $vdt$ d'une solution.
Nous nous intéressons au temps moyen pour qu'une quantité $Q$ soit injectée.
J'ai formulé le problème de la façon suivante pour le process : $$
G(I,T) = v \cdot \int_{0}^{T}(\mathbb{1}_{B_t>I})dt.
$$ Maintenant, quel est le temps moyen pour qu'une quantité $Q$ soit injectée ?
Je n'ai pas fait de calcul sto depuis 5 ans et j'ai des difficultés à comprendre comment avoir une solution avec cette fonction caractéristique.
Je serais vraiment reconnaissant de n'importe quelle aide sur le sujet !
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Réponses
Q = v \cdot \int_{0}^{T}(\mathbb{1}_{B_t>I})dt.
$$ Si $\ f(t, L) = \mathbb{1}_{X>\frac{L}{\sqrt{t}}}$, avec $X$ loi normale centrée réduite
alors je peux écrire $F(t, L) = \max( 0, X-\frac{L}{\sqrt{t}} ) + c$
Si L>0 : $$
Q = v ( F(T, L) - F(0, L) ) = v \cdot F(T, L) = \max\Big( 0, X-\frac{L}{\sqrt{T}} \Big)
\\
\sqrt{T}= \max( 0, X\cdot \sqrt{T}-L ) / Q
$$ Sinon, quel est le problème ?