Espérance conditionnelle
Bonjour à tous
J'aimerais montrer une propriété classique de l'espérance conditionnelle, en utilisant la définition générale pour une VA.
Soit $X$ une VA $L^1$.
$\mathbb{E}(X|\mathcal{F})$ est la seule VA $Y$ mesurable par rapport à $\mathcal{F}$ telle que pour toute VA $Z$ qui est $\mathcal{F}$-mesurable et bornée, on ait $\mathbb{E}(XZ)=\mathbb{E}(YZ)$.
On peut d'ailleurs se limiter à $Z$ = indicatrice d'un ensemble $\mathcal{F}$-mesurable.
J'aimerais montrer la propriété suivante.
Si $Y$ est $\mathcal{F}$-mesurable, alors $$\mathbb{E}(X|\mathcal{F})Y=\mathbb{E}(XY|\mathcal{F}).
$$ Si $Y$ est bornée, il suffit d'appliquer la définition, car alors $YZ$ est mesurable bornée. Mais si $Y$ n'est pas supposée bornée j'arrive à montrer le résultat, mais au prix de plusieurs longues lignes de calcul et un passage à $L^2$.
Du coup je me demande si quelque chose de simple ne m'échappe pas.
Merci (:P)
J'aimerais montrer une propriété classique de l'espérance conditionnelle, en utilisant la définition générale pour une VA.
Soit $X$ une VA $L^1$.
$\mathbb{E}(X|\mathcal{F})$ est la seule VA $Y$ mesurable par rapport à $\mathcal{F}$ telle que pour toute VA $Z$ qui est $\mathcal{F}$-mesurable et bornée, on ait $\mathbb{E}(XZ)=\mathbb{E}(YZ)$.
On peut d'ailleurs se limiter à $Z$ = indicatrice d'un ensemble $\mathcal{F}$-mesurable.
J'aimerais montrer la propriété suivante.
Si $Y$ est $\mathcal{F}$-mesurable, alors $$\mathbb{E}(X|\mathcal{F})Y=\mathbb{E}(XY|\mathcal{F}).
$$ Si $Y$ est bornée, il suffit d'appliquer la définition, car alors $YZ$ est mesurable bornée. Mais si $Y$ n'est pas supposée bornée j'arrive à montrer le résultat, mais au prix de plusieurs longues lignes de calcul et un passage à $L^2$.
Du coup je me demande si quelque chose de simple ne m'échappe pas.
Merci (:P)
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Réponses
Mais du coup je ne vois quand même pas comment faire. Peut-être que ma démonstration longue est fausse et qu'il faut supposer que $Y$ est bornée ?
Et, tu as raison, ce n'est pas immédiat. Dans mon cours, j'utilise un théorème de convergence dominée conditionnel.