Tribu engendrée

poli12
poli12
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour j'aimerais avoir des indications pour aborder cet exercice.

Dans $\mathbb R^2$, soit $\mathcal C$ l'ensemble des parties de $\mathbb R^2$ qui sont contenues dans une réunion dénombrable de droites. Décrire la tribu engendrée par $\mathcal C$, et dire si c'est une sous-tribu de $\mathcal B(\mathbb R^2))$.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ce n'est pas une sous-tribu de $\mathcal B(\mathbb R)$ car l'ensemble des parties $\mathcal C$ que tu décris a la cardinalité de $\mathcal P(\mathbb R)$, tandis que $\mathcal B(\mathbb R)$ a la puissance du continu.
  • poli12
    poli12
    Merci. C'est surtout la description qui me dérange.
  • Math Coss
    Math Coss
    Dans la tribu engendrée, y a-t-il plus que les éléments de $\mathcal{C}$ et leurs complémentaires ?
  • poli12
    poli12
    Oui ils y a les intersections et les unions dénombrables d'éléments de $\mathcal C$
  • poli12
    poli12
    Je constate pas exemple que pour tout $(x,y) \in\mathbb R^2,\ \{(x,y)\}\in \mathcal C$ et donc $\mathbb Q \times \mathbb Q \in \mathcal C$.
    Si je dois expliciter comme ceci je me demande si je vais finir un jour.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu peux remarquer que si, pour $i$ entier, $A_i$ est contenu dans une réunion dénombrable de droites $\bigcup_{j}D_{ij}$, alors la réunion des $A_i$ est contenue dans la réunion tout aussi dénombrable $\bigcup_{i,j}D_{ij}$ et l'intersection dans la réunion $\bigcup_j{D_{1j}}$. Autrement dit, la classe $\mathcal C$ est stable pour ces opérations.
  • poli12
    poli12
    A me mettre à citer je pense que c'est $\mathcal P(\mathbb R))$
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne comprends pas l'expression « à me mettre à citer » mais la conclusion est erronée.
  • poli12
    poli12
    Je voulais dire si on se met à exhiber les éléments de cette tribu engendrée un à un on aura l'impression que c'est $\mathcal P(\mathbb R^2)$
  • Math Coss
    Math Coss
    Eh bien, on se trompera (et il n'y a pas que l'orthographe qui paie un tribut à la réflexion).

    Tiens, voici un exercice voisin : sur $\R$, quelle est la tribu engendrée par la classe $\mathcal D$ des parties dénombrables ?
  • poli12
    poli12
    Il s'agit de la tribu formée de l’ensemble vide, de $\mathbb R$, des ensembles dénombrables et de leurs complémentaires, de l'union et d'intersection dénombrables de parties dénombrables et de l'union et intersection dénombrables de parties à complémentaires dénombrables.
    Je pense que c'est tout.
  • gerard0
    gerard0
    Poli12,

    que peut-on dire d'une intersection dénombrable de parties dénombrables ? Et d'une union dénombrable de parties dénombrables ?

    Cordialement.
  • poli12
    poli12
    :-Squelles sont dénombrables.
  • poli12
    poli12
    :-D C'est formé de l'ensemble vide, de $\mathbb R$, des parties dénombrables et de leurs complémentaires.
  • poli12
    poli12
    Pour répondre donc à ma question plus haut je dirais que $\sigma(\mathcal C)$ est formée de l'ensemble vide, de $\mathbb R^2$ , des élément de $\mathcal C$ et de leur complémentaires.
  • poli12
    poli12
    @Poirot comment voir que l'ensemble $\mathcal C$ décrit $\mathcal P(\mathbb R))$
  • Poirot
    Poirot
    $\mathcal C$ contient tous les $A \times \{0\}$, où $A \in \mathcal P(\mathbb R)$, d'où une injection de $\mathcal P(\mathbb R)$ dans $\mathcal C$. Réciproquement, $\mathcal C \subset \mathcal P(\mathbb R^2)$, qui est en bijection avec $\mathcal P(\mathbb R)$ (puisque $\mathbb R$ et $\mathbb R^2$ le sont).
  • Math Coss
    Math Coss
    NB : La phrase « $\mathcal C$ décrit $\mathcal{P}(\R)$ » m'est incompréhensible.
    L'existence d'une injection de $\mathcal{P}(\R)$ dans $\mathcal C$ n'est pas tout à fait synonyme du fait que $\mathcal{P}(\R)$ est inclus dans $\mathcal{C}$.
  • poli12
    poli12
    Je veux dire comment voir que l'ensemble $\mathcal C$ a la cardinalité de $\mathcal P(\mathbb R)$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Je t'ai donné un argument juste au-dessus.
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