Allez, un petit exo de séries entières

P.
P.
dans Analyse
Si $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=1-\frac{z}{2}+\frac{z}{\log(1-z)}$ alors $a_n\geq 0$ pour tout $n.$

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Par vérification brutale, c'est vrai des 1000 premiers coefficients.
  • Poirot
    Poirot
    P. a posté sa question dans la section Probabilités, faut-il reconnaître la fonction génératrice d'une certaine loi ?
  • Guego
    Guego
    Il s'agit des $(-1)^{n-1}G_{n}$ où les $G_n$ sont les coefficients de Gregory : https://en.wikipedia.org/wiki/Gregory_coefficients
  • P.
    P.
    Non cher Poirot, j'ai appuyé sur le mauvais bouton.
    Merci cher Guego, je ne savais pas pour Gregory, et ma démonstration est essentiellement celle de Wikipedia avec $ \int_0^1 (1-z)^sds.$

    La motivation est que je ne sais pas montrer la positivité des coefficients pour $0<b<2$ de $$


    \frac{1}{z(b-1)}\Big( \frac{bz}{1-(1-z)^b}- \frac{1}{(1-\frac{z}{2})^{b-1}} \Big)
    $$ La question posée correspondant au cas $b=0.$
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