Fonction continue et mesure

Gentil
Gentil
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous

Soit $X$ un espace topologique localement compact et séparé et $\mu$ et $\nu$ deux mesures boréliennes sur $X$. On a l'égalité $$
\forall \varphi \in C^{0}(X), \quad\int{\varphi d\mu} = \int{\varphi d\nu} .
$$ A-t-on $\mu = \nu $ ?

Les hypothèses sont trop fortes ? Ou au contraire peut-on les affaiblir ?

EDIT : En connaissez-vous une preuve ? Moi je ne vois pas là.

EDIT2 : J'ai rajoué des hypothèses topologiques sur mon espace.

Réponses

  • Gentil
    Gentil
    Je vais faire une hypothèse plus forte, supposons que $\mu$ est en plus de Radon (fini sur les compacts).
    Dans ce cas, si je montre que $C_{c}^{0}$ est dense dans $L^{p}$ alors c'est gagné.
    Il suffit de montrer que $1_{E}$ avec $E$ borélien est approchable en norme $L^{p}$ avec des fonctions $C_{c}^{0}$.
    J'ai trouvé une preuve avec Uryshon pour le cas $E$ de mesure fini. Maintenant savez-vous comment se restreindre à ce cas en toute généralité ?
  • Gentil
    Gentil
    D'ailleurs peut-on utiliser $C^{\infty}_{c}$ plutôt que $C_{c}^{0}$ mais Uryshon donne une fonction continue, donc faudrait changer la preuve a priori.
  • Corto
    Corto
    C'est justement l'objet du théorème de représentation de Riesz sur les mesures.
  • Gentil
    Gentil
    Bonjour, merci pour ce début de réponse.
  • Gentil
    Gentil
    J'imagine que vous voulez utiliser le fait que les vecteurs d'un $K$ ev sépare les points de son dual
    $$
    \forall x,y \in E, x\ne y \Rightarrow \exists \varphi \in E^{*} ; \varphi(x) \ne \varphi(y)
    $$
    Sauf qu'ici je ne vois pas comment l'appliquer.
  • Corto
    Corto
    Ce n'est pas un début de réponse, c'est la réponse à ta question.

    Tu dispose de deux (une seule en fait, puisqu'elles sont égales) formes linéaires positives définies sur $C^0(X)$ qui sont respectivement $\varphi \mapsto \int \varphi d \mu$ et $\varphi \mapsto \int \varphi d \nu$, ces deux formes linéaires sont chacune représentée par une mesure ($\mu$ et $\nu$), il suffit de lire les hypothèses du théorème qui garantissent l'unicité d'un tel représentant pour affirmer que $\mu=\nu$. Par exemple en rajoutant l'hypothèse que $\mu$ et $\nu $ sont des mesures de Radon.
  • Gentil
    Gentil
    Merci beaucoup ce qui me gênait est que je pensais à une autre preuve (par densité).
  • MedMasi
    MedMasi
    Bonsoir Mr @Gentil,
    c'est une version du théorème de la représentation de Riesz. Voici un extrait du théorème.
    Vous pouvez aussi consulter cette référence90674
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