Chaînes de Markov
Bonjour
Je viens de commencer les chaînes de Markov et j'ai quelques problèmes avec des exercices de base.
$(X_n)_{n\geq 0}$ une chaîne de Markov homogène à espace d'états discret, de loi initiale $\mu$ et de matrice de transition $P$.
Étudier si les suites suivantes sont des chaînes de Markov, homogène ou non, et donner quand c'est possible, les probabilités de transition et la loi initiale :
1) $Y_n=X_{kn}$, avec $k\in \mathbb{N^*}$
2)$Y_n= f(X_n)$, où $f: E \to F$ bijective
3)$Y_n=(X_n,X_{n+1})$
4)$Y_n= (X_n, f(X_n))$, avec $f$ quelconque.
Voilà ce que j'ai essayé de faire :
1) $\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_1=i_1;Y_2=i_2;...;Y_n=i_n)= \mathbb{P}(X_{kn+k}=y|X_k=i_1;...;X_{nk}=i_n)$
$=\mathbb{P}(X_{kn+k}=y|X_{nk})=P^k(X_{nk},y)=P^k(Y_n,y)$
On en déduit que $(Y_n)$ est une chaîne de Markov de matrice de transition $P^k$, homogène. Je ne vois pas trop comment donner les probabilités de transition et la loi initiale. ($\mu P^k$ ?)
2) $\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_1=i_1;Y_2=i_2;...;Y_n=i_n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=f^{-1}(y)|X_1=f^{-1}(i_1);X_2=f^{-1}(i_2);...;X_n=f^{-1}(i_n))$
$ =\mathbb{P}(X_{n+1}=f^{-1}(y)|X_n=f^{-1}(i_n))=\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_n=i_n)$ donc $Y_n$ est une chaîne de Markov
de plus, comme $(X_n)$ est homogène, $\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_n=i_n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=f^{-1}(y)|X_n=f^{-1}(i_n))=\mathbb{P}(X_{1}=f^{-1}(y)|X_0=f^{-1}(i_n))=\mathbb{P}(Y_{1}=y|Y_0=i_n)$ donc $(Y_n)$ est homogène. De la même manière que précédemment, je ne vois pas trop comment donner les probabilités de transition et la loi initiale.
3) et 4) Je ne vois pas comment faire. J'ai bien l'impression qu'il y a un problème avec le $X_{n+1}$ du 3) mais je ne sais pas comment y remédier.
J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
Je viens de commencer les chaînes de Markov et j'ai quelques problèmes avec des exercices de base.
$(X_n)_{n\geq 0}$ une chaîne de Markov homogène à espace d'états discret, de loi initiale $\mu$ et de matrice de transition $P$.
Étudier si les suites suivantes sont des chaînes de Markov, homogène ou non, et donner quand c'est possible, les probabilités de transition et la loi initiale :
1) $Y_n=X_{kn}$, avec $k\in \mathbb{N^*}$
2)$Y_n= f(X_n)$, où $f: E \to F$ bijective
3)$Y_n=(X_n,X_{n+1})$
4)$Y_n= (X_n, f(X_n))$, avec $f$ quelconque.
Voilà ce que j'ai essayé de faire :
1) $\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_1=i_1;Y_2=i_2;...;Y_n=i_n)= \mathbb{P}(X_{kn+k}=y|X_k=i_1;...;X_{nk}=i_n)$
$=\mathbb{P}(X_{kn+k}=y|X_{nk})=P^k(X_{nk},y)=P^k(Y_n,y)$
On en déduit que $(Y_n)$ est une chaîne de Markov de matrice de transition $P^k$, homogène. Je ne vois pas trop comment donner les probabilités de transition et la loi initiale. ($\mu P^k$ ?)
2) $\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_1=i_1;Y_2=i_2;...;Y_n=i_n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=f^{-1}(y)|X_1=f^{-1}(i_1);X_2=f^{-1}(i_2);...;X_n=f^{-1}(i_n))$
$ =\mathbb{P}(X_{n+1}=f^{-1}(y)|X_n=f^{-1}(i_n))=\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_n=i_n)$ donc $Y_n$ est une chaîne de Markov
de plus, comme $(X_n)$ est homogène, $\mathbb{P}(Y_{n+1}=y|Y_n=i_n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=f^{-1}(y)|X_n=f^{-1}(i_n))=\mathbb{P}(X_{1}=f^{-1}(y)|X_0=f^{-1}(i_n))=\mathbb{P}(Y_{1}=y|Y_0=i_n)$ donc $(Y_n)$ est homogène. De la même manière que précédemment, je ne vois pas trop comment donner les probabilités de transition et la loi initiale.
3) et 4) Je ne vois pas comment faire. J'ai bien l'impression qu'il y a un problème avec le $X_{n+1}$ du 3) mais je ne sais pas comment y remédier.
J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
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Réponses
Pour le 2), les probabilités de transition sont les mêmes que pour $(X_n)_n$, du moment que tu ordonnes tes états en utilisant $f$, puisqu'alors $\{X_n = a\} \cap \{X_{n+1}=b\} = \{Y_n = f(a)\} \cap \{Y_{n+1}=f(b)\}$. La loi initiale est la loi de $f(X_0)$.
Tout d'abord, merci pour ta réponse.
Pour le 1) J'ai essayé de retrouver les probabilités de transitions en faisant apparaitre une somme, ça n'a pas été une réussite. Voilà ce que j'ai :
$\mathbb{P}(Y_1=j \ | \ Y_0=i) = \mathbb{P}(X_k=j \ | \ X_0=i) = \frac{1}{\mathbb{P}(X_0=i)} \mathbb{P}(X_k=j;X_0=i)$
$= \frac{1}{\mathbb{P}(X_0=i)} \sum_{l\in\Omega} \mathbb{P}(X_k=j;X_{k-1}=l;X_0=i) = \frac{1}{\mathbb{P}(X_0=i)} \sum_{l\in\Omega} \mathbb{P}(X_k=j \ | \ X_{k-1}=l;X_0=i)\mathbb{P}(X_{k-1}=l ; X_0= i ) $
$=\frac{1}{\mathbb{P}(X_0=i)} \sum_{l\in\Omega} \mathbb{P}(X_k=j \ | \ X_{k-1}=l)\mathbb{P}(X_{k-1}=l ; X_0= i )$
$=\frac{1}{\mathbb{P}(X_0=i)} \sum_{l\in\Omega} \mathbb{P}(X_1=j \ | \ X_{0}=l)\mathbb{P}(X_{k-1}=l ; X_0= i )$
J'ai bien l'impression qu'il y a une relation de récurrence qui se profile mais je n'arrive pas à avancer plus.
pour le 2) on a donc $\mathbb{P}(Y_1=f(b) | Y_0=f(a) )=\frac{ \mathbb{P}(Y_1=f(b) ;Y_0=f(a) )}{\mathbb{P}(Y_0=f(a) )} = \frac{ \mathbb{P}(X_1=b;X_0=a )}{\mathbb{P}(X_0=a )}= \mathbb{P}(X_1=b ;X_0=a )$ si j'ai bien compris.
On a aussi que les lois initiales sont $\mathbb{P}(X_0=i)=\mu(\{i\})$ et $\mathbb{P}(X_0=i)=\mu\circ f^{-1}(\{i\})$
Le problème c'est que je ne vois pas comment calculer les coefficients de $P^k$ étant donné que je ne sais rien sur $P$ à part que c'est la matrice de transition de $(X_n)$. Mais je vais y réfléchir, peut-être que je passe à coté de quelque chose d'évident. (Ou que je manque de connaissance, je vais relire mon cours)
La nuit porte conseil. :-)
Bonne nuit.
Merci Poirot, j'ai enfin compris.
Ps: désolé du retard.