Variable aléatoire tendu

Pour définir le fait que $(X, Y)$ est tendu c'est simple : il suffit de suivre la définition que tu donnes, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un compact $K$ de $\mathbb R^2$ tel que $\mathbb P((X,Y) \in K) > 1 - \varepsilon$.

La loi d'une variable aléatoire à valeurs vectorielles est toujours tendue puisque $\mathbb R^n$ est $\sigma$-compact. La notion de tension n'a d'intérêt que pour une famille de mesures.

Ça manque de quantification. Si $K_1$ et $K_2$ sont des compacts tels que $\mu_X(K_1) > 1 -\varepsilon$ et $\mu_Y > 1 -\varepsilon$, alors si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a $\mu_{(X,Y)}(K_1 \times K_2) = \mu_X(K_1)\mu_Y(K_2) > (1-\varepsilon)^2$.

Mais ce n'est pas vraiment intéressant puisque comme je l'ai dit dans mon précédent message, si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb R^n$, la loi de $X$ est toujours tendue puisque $\mathbb R^n$ est réunion dénombrable de compacts (ce que j'ai appelé $\sigma$-compact). La notion de tension est non triviale lorsque l'on considère des familles de mesures, ou des lois de variables aléatoires à valeurs dans des espaces non $\sigma$-compacts).