Proba de tomber sur une case au Monopoly

Npj · October 2019

Salut! Je n'ai pas trouvé le problème sur le forum.
Je n'arrive pas à poser un problème:
En lançant plusieurs fois 2 dés, quelle est la probabilité de passer par une case qui se trouve sur notre trajet sachant qu'on n'a pas le droit de faire 3 doubles d'affilée.
Par exemple on peut faire 12 et tomber dessus
ou bien 2 puis 10
ou bien 3 puis 9
...
ou bien 10 puis 2

ou bien 2 puis 2 puis 3 puis 2 puis 2

Je n'arrive même pas à poser le problème alors que je me dis (peut-être à tort) que ce n'est que des probabilités, quel niveau à peu près faut-il pour le résoudre?
J'ai eu un bac f3 et j'étais plutôt bon en maths.

Merci!

Math Coss · October 2019

C'est difficile à dire avec la seule disposition des cases à cause de deux règles spéciales : la prison d'une part, la case départ d'autre part (où l'on reçoit 20.000 francs). Le rôle de la prison n'est pas négligeable, cette case est plus visitée que les autres parce qu'on peut y aller directement depuis la case à l'opposé, avec les cartes "chance" ou avec trois doubles consécutifs. Elle fait que les propriétés oranges et les rouges sont beaucoup plus visitées (surtout les oranges, car après un jet de deux dés, on tombe vraiment souvent, puis sur les rouges après) et donc ce sont les plus rentables.

Cela dit, en négligeant les cartes "chance" et les triples au moins dans un premier temps, comment faire pour estimer la probabilité de chaque case ? La méthode bourrine consiste à calculer les probabilités de transition de chaque case à toutes les autres et de calculer les grandes puissances de la matrice de transition correspondante. C'est un peu comme dans cet exercice, sauf qu'au lieu de prendre deux états ("dépasser" / "ne pas dépasser") on en prend un par case.

lourrran · October 2019

Ouublions les mouvements spéciaux 'Allez en prison', ou 'Allez en Gare-du Nord' si ça existe.

La probabilité d'arriver dans une case précise, elle est de 100%. Si on ne donne pas de limitation sur le nombre de coups, c'est sûr, à un moment ou un autre, à force de tourner, on arrivera sur cette case. Il faut donc donner une limite. Ici , je vais faire une impasse, je vais calculer la probabilité d'arriver sur la case n°12 partant de la case n°0, sans faire un tour complet. Si je me souviens bien, il y a 44 cases sur un jeu de monopoly, la probabilité recherchée est donc la proba d'obtenir soit 12, soit 56, soit 100 en quelques coups... je m'intéresse uniquement au 1er cas; arriver à 12.
12 --> 1/36
10+2 -->3*36*1/36
9+3 --> 4/36*2/36
8+4 --> 5/36*3/36
7+5 --> 6/36*4/36
6+6 --> 5/36*5/36
5+7 --> 4/36*6/36
4+8 --> 3/36*5/36
3+9 --> 2/36*4/36
2+10 --> 1/36*3/36
Puis tous les cas où on arrive à 12 en 3 mouvements.
8+2+2 --> 5/36*1/36*/36
7+3+2 --> 6/36*2/36*1/36
7+2+3 --> 6/36*1/36*2/36
etc etc
Il n'y a aucun doublon dans toute cette liste ; 8 puis 4, ce n'est pas comme 4 puis 8. Donc toutes ces probabilités s'ajoutent.

Ici, je liste tous les cas, c'est hyper long. Par exemple pour (7,3,2), je vais avoir 6 lignes... on peut aller un peu plus vite en disant : (7,3,2) --> 6*3*2 /36/36/36*6

Math Coss · October 2019

D'accord mais c'est une réponse à une question différente.

La question pertinente – pour la stratégie du jeu – c'est de connaître la probabilité asymptotique $p_k$ d'être sur chaque case $k$ ou, ce qui revient à peu près au même, le temps moyen passé sur chaque case. La rentabilité de la case $k$ est en effet le produit $p_kt_k$, où $t_k$ est le tarif du loyer de ladite case (variable selon les constructions). Ces calculs montrent que la rue de la Paix et les Champs-Élysées sont peu rentables (trop chers avec une fréquence de passage trop faible) et ce, principalement à cause de la case « allez en prison ». Idem pour Belleville et Lecourbe (la première et la troisième) à cause du passage plus fréquent sur la case départ (quelque cartes forcent à une arrivée directe sur cette case) depuis laquelle il est impossible d'avancer d'une case et très rare d'avancer de trois.

Guego · October 2019

Une autre manière d'estimer ces probabilités et de faire des simulations. On programme les règles du jeu et on simule 100000000 tours de jeu. On voit bien sur quelles cases on tombe plus souvent.

lourrran · October 2019

Effectivement, je n'ai pas joué au Monopoly depuis très longtemps, et je n'avais pas remarqué à quel point la case 'Champs-Elysées' en particulier est mal placée. Elle est 7 cases derrière la case 'Allez en prison' Et donc, le dernier coup de dé pour arriver à cette case ne peut pas être un 7. Et donc on a une probabilité environ 17% plus faible de tomber sur cette case que sur une case 'banale'.

Ce lien nous renvoie vers quelques études sur le sujet... très sympa.

Je ne sais pas quelle était la question initiale. Npj nous parlait spécifiquement du nombre 12, donc a priori, la probabilité que mon adversaire tombe sur mon terrain à très court terme. En tout cas, c'est comme ça que j'avais compris la question.

nicolas.patrois · October 2019

Ça devrait se faire en diagonalisant la matrice de transition.

raoul.S · October 2019

Vidéo du Centre Henri Lebesgue sur le Monopoly.

On se demande si leur but était de traiter le sujet entier en 5 minutes... bref si on est pas super à l'aise avec ces trucs il faut mettre sur pause plusieurs fois... je n'en ai pas eu le courage mais si ça intéresse quelqu'un.

Dom · October 2019

Superbe, cette vidéo !

Corto · October 2019

Une autre étude du monopoly : Erreur des probabilités en votre faveur.

Dom · October 2019

Je découvre ces études. Il faut un âge pour tout.

Je m'interroge : j'ai bien compris que les probabilités sont en faveur du rouge.
Cependant, les sommes en jeu étant distinctes selon les couleurs, manque-t-il dans l'étude un passage sur l'espérance ?
En gros, pour forcer le trait, si le bleu rapport dix millions de fois ce que rapporte le rouge, on comprend que le bleu est tout de même intéressant.

Proba de tomber sur une case au Monopoly

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