La variable aléatoire au carré

naforito · October 2019

Bonjour

Soit $(\Omega,M,P)$ un espace probabilisé sur lequel sont définies les variables aléatoires indépendantes $U$ et $V$, à valeurs dans $\{-1,+1\}$ et de même loi définie par les relations $$P_U(-1)=\frac{1}{3}\quad\text{ et }\quad P_V(1)=\frac{2}{3}.

$$ Les variables $X^2$ et $Y^2$ sont elles indépendantes ?

Pour la réponse que j'ai du mal à la comprendre
$X^2=Y^2=1$ (Je ne sais pas pourquoi ?)
et comme $P(X^2=1)=1$ et $P(X^2=-1)=0$ , les variables $X^2$ et $Y^2$ sont indépendantes (mais ce que je connais que $X^2$ est indépendante de elle-même et non pas avec $Y^2$)

Merci de me répondre.

ChristopheC · October 2019

Bonjour,

D'abord, tu parles de variables $U$ et $V$, ensuite cela devient $X$ et $Y$. L'énoncé est à vérifier, est-ce que $X$ est $U$ et $V$ est $Y$?
Si oui, il est immédiat que si un nombre vaut 1 ou -1, alors son carré vaut 1. Par conséquent, les variables $U^{2}$ et $V^{2}$ sont déterministes, égales à 1, et l'indépendance est immédiate: $P((U^{2}=1) \cap (V^{2}=1)) = 1 = P(U^{2}=1) \times P((V^{2}=1)$.
Cordialement,

Poirot · October 2019

Beaucoup de confusions en un seul message. On part de $U$ et $V$ puis on parle de $X$ et de $Y$, on donne $\mathbb P_U(-1)$ et $\mathbb P_V(1)$...

Si par le plus grand des hasards ton $X$ désigne $U$ et ton $Y$ désigne $V$, alors au vu de la définition de $U$, on a $U(\omega)^2=1$ pour tout $\omega \in \Omega$.

Une fois que l'on s'est convaincu que $X^2=Y^2$, et que $X^2$ est indépendante d'elle-même on n'a pas trop de mal à imaginer que $X^2$ puisse être indépendante de $Y^2=X^2$ non ?

naforito · October 2019

Excusez moi $X=U$ et $Y=sign(U)V$

naforito · October 2019

Merci pour vos réponses , j'ai compris

La variable aléatoire au carré

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