Écart max

Et pourtant ça arrive en moyenne une fois sur 1048576 lancers. Donc bien plus souvent que de gagner au loto.

Cordialement.

Pourquoi parler d'écart ? Sur $N$ lancers, le nombre maximal possible de face à la suite est exactement $N$. Quelle est ta question exactement ?

Bon en l'absence de maths, je déplace en Shtam.

Si un croupier voit 25 millions de lancers de la roulette dans sa vie, il est assez improbable qu'il n'aie jamais vu une suite de 20 fois le rouge de suite.

"un algorithme ( ...) qui donne l'écart Max selon N, dans les limites compatibles avec la vie terrestre..."

La question est mal posée, la partie en italique n'a pas de sens mathématique.

"Pour observer un Écart 200 pour n=200, il me faudrait être réincarné 1 milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de fois.... " Faux. mauvaise compréhension de la notion de hasard. D'une part, comme ce n'est pas impossible, il suffit que le hasard fasse qu'il y a une série de 200. D'autre part, même avec "1 milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de fois" il n'y a aucune certitude que la série de 200 apparaisse.
Plus concrètement, avec des séries de 20, sur 1048576 séries de 20 lancers, il n'y a aucune certitude qu'il y ait une série de 20 pile. Il y a même 63% de chances environ qu'il n'y en ait aucune !!

En gros, ce que tu demandes c'est la chose suivante :

Pour $n\ge 1$, on note $X_n$ la variable qui donne la plus longue suite de Face d'affilée quand on joue $n$ fois à Pile ou Face.

Trouver l'asymptotique de $E[X_n]$ et de $V(X_n)$, ou toute autre manière d'obtenir une asymptotique d'un intervalle de fluctuation de $X_n$.

Plutôt naturel, mais difficile de s'engager dans la recherche sans garantie d'un résultat intéressant au bout.

jeancreatif a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1869462,1869462#msg-1869462
Bonjour à tous Qui saura me dire si l'on peut trouver un algorithme permettant de calculer l’écart max pour un n donné, dans le modèle aléatoire du "pile ou face".
Pour n=20 par exemple, quelle suite maximum (d'affilée) de "face" peut-on rencontrer ?

La question ne veut rien dire. Donc forcément, tu n'as pas de réponse qui te convienne.

Je vais essayer de reformuler ton idée.
Je vais au casino tous les jours, de l'ouverture à la fermeture. Dans le casino où je vais il y a un jeu de roulette. Et il y a exactement n=100 lancers chaque jour.
Chaque jour, je compte le nombre de rouges (noté a) et le nombre de noirs (noté b). Donc chaque jour , a+b=n=100

Et ta question, c'est quelle est la valeur maximale de a ? La réponse est 100. Point final.

En fait ta question, ce n'est pas ça. Evidemment.

Ce que tu veux savoir, c'est : On répète l'expérience pendant j= 365 jours par exemple. Au bout de 365 jours, tu as noté toutes les valeurs, et tu as constaté que le jour où il y a eu le plus de rouges, il y a eu en tout 75 rouges et 25 noirs. Et tu veux savoir si ce nombre 75 il est exceptionnel, ou pas.
Tu veux faire un pari avec un copain à toi : je parie qu'au cours de l'année à venir, il y aura au moins un jour avec 75 rouges ou plus, et tu veux savoir si tu es favori pour gagner ou pas.
Tu veux savoir : pour que le pari soit équilibré, pour que toi et ton copain, vous ayez chacun 50% de chances de gagner, il faut mettre le seuil à combien ? 75 ? 70 ? 65 ?

Là on peut commencer à faire des maths.
Et bien évidemment le nombre 365 a une importance fondamentale dans la question. Si à la place de 365 jours, le jeu dure 5 jours, et si je parie qu'au cours des 5 jours qui viennent, il y aura au moins un jour avec 75 rouges ou plus, je pars archi-perdant. Alors que sur un an , va savoir !


Edit : ta question n'était certainement pas celle-ci. Mais si tu ne fais pas l'effort de la formuler précisément, comme je l'ai fait, tu n'auras pas de réponse correcte.

Si je passe 1 an à générer des 1 et des 0 équiprobables, au rytme de 1 nombre par heure, tu as raison, il va falloir un miracle pour que j'aie une série de 100 zéros d'affilée.
Mais si je passe 1 an à générer des 1 et des 0 équiprobables, au rytme de 100 millions de nombres par seconde, j'ai une très bonne chance d'avoir une série de 100 zéros d'affilée (je crois, j'ai pu me tromper dans mes calculs ...) .

C'est toujours la même histoire. L'événement est peu probable, mais si je répère l'expérience vraiment beaucoup beaucoup beaucoup, l'événement en question va finir par arriver.

Cette discussion me rappelle des tas d'autres discussions. On a quelqu'un qui ne connait pas les statistiques, mais qui cite plein de noms (tu cites Emile Borel, Jacob Bernouilli, tu as cité Paul Lévy ... des fois , aavec d'autres, on voit des Tchebychev, des Bertrand, des Lorenz ou des noms de théorèmes comme le TCL qui reviennent à tout bout de champ).
Citer des noms de mathématiciens, c'est la caractéristique de ceux qui sont en difficulté avec les maths en général, ou les statistiques en particulier. Ceux qui mémorisent des noms ou des textes, mais ne les comprennent pas.

Et ceux qui maitrisent le sujet, qui savent poser et résoudre un problème... et qui n'éprouvent jamais ce besoin de citer des noms de mathématiciens. Je m'étais fait la remarque très souvent... je la fais aujourd'hui sur ce forum.
N'y vois pas une attaque personnelle.

Tu ne fais aucun effort. La série maximale possible sur $N$ lancers est $N$, point. Ce que tu écris ne correspond pas à ce que tu veux véritablement demander, qui est du ressort des probabilités. Mais il semble que tu ne lises pas les messages des autres de toute façon.

@jeancreatif: Tu dois préciser ta question pour lui donner du sens.

Tu considères que 0,000000000000000000000000000079 est inobservable ?
Que dirais-tu de 0,005 ? De 0,05 ? Il faut donner un seuil pour préciser la question.
Si tu ne donnes pas de seuil, seul la réponse "20" a un sens clair.

Les choses peu probables sont observées.
Je te propose un test: lance 10000 fois une pièce, compte le nombre de piles observés, puis la probabilité d'observer ce que tu as observé: tu verras qu'elle est très faible.

@jeancreatif : il semble t'échapper ce qui pourtant me semble évident, et qui a été détaillé dans la réponse de lourrran. Si l'expérience "lancer la pièce $100$ fois de suite" est effectuée deux fois, on va très certainement observer deux suites de résultats distinctes. Ça n'a donc pas de sens de demander quel est la série maximale de "faces" à la suite : cette quantité dépend de l'expérience réalisée, et comme je m'évertue à te le dire depuis le début de la discussion, il est possible (bien que peu probable, mais là n'était pas ta question) que cette série soit de $100$. C'est exactement la même chose que de demander : "si je lance une pièce une fois, combien de "face" j'obtiens ?" Ou encore, "si je tire trois boules au hasard dans une urne, quelle est la couleur de la deuxième ?". Il n'y a pas de réponse puisque le résultat dépend de l'expérience, on parle de variable aléatoire.

Une question qui a du sens serait plutôt : "sur $100$ lancers indépendants d'une pièce équilibrée, quelle est la probabilité que la série maximale de "faces" à la suite vaut $N$ ?" où $N$ est un entier entre $0$ et $100$. Ou comme suggéré plus tôt : "sur $100$ lancers indépendants d'une pièce équilibrée, quelle est l'espérance de la variable aléatoire qui compte la série maximale de "faces" ?".

Sur 10^6 expériences, j'ai obtenu:
0: 1 fois
1: 17021 fois
2: 196038 fois
3: 309246 fois
4: 228486 fois
5: 127484 fois
6: 63940 fois
7: 30516 fois
8: 14440 fois
9: 6938 fois
10: 3191 fois
11: 1463 fois
12: 690 fois
13: 306 fois
14: 138 fois
15: 54 fois
16: 25 fois
17: 16 fois
18: 4 fois
19: 2 fois
20: 1 fois

Oui, effectivement, je parle de 20 lancers consécutifs et regarder le plus grand nombre de piles consécutifs. Je donne le code Julia.

function maxpile(N)
    succ=0
    maxsuc=0
    for i=1:N
        if (rand()<0.5)
            succ+=1
            if (succ>maxsuc)
                maxsuc=succ
            end
        else
            succ=0
        end
    end
    return(maxsuc)
end

function empirique(N,nombre)
  t=zeros(Int64,N+1)
  for i=1:nombre
    h=maxpile(N)  
    t[h+1]+=1
  end
  return(t)
end

Ton erreur est de croire qu'on a une loi géométrique. Ce n'est absolument pas une loi géométrique.

Dans une loi géométrique , on a forcément P(n)<P(n-1) Ce n'est pas le cas ici. Tu viens de publier tes chiffres 'théoriques' et ceux de ta simulation pour Ecart supérieur ou égal à 9. Regarde les chifres pour Ecart = 1 ou 2 . Ta loi géométrique va dire que ces valeurs sont archi-probables, alors que ta simulation dit que ces cas sont rarissimes.

Je pense (mais je peux tout à fait me tromper) qu'on est sur une loi de Poisson. En tout cas, la forme générale de la courbe est celle d'une loi de Poisson.

Pour n=200 et 10^7 simulations, j'ai

[0, 0, 0, 6937, 334352, 1648419, 2572739, 2241203, 1464708, 833313, 441987, 226689, 115219, 57065, 28763, 14275, 7199, 3635, 1818, 837, 426, 201, 111, 53, 25, 11, 6, 5, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

Tu veux utiliser une loi géométrique, en sachant que ce n'est pas bon, puisque sur les premières valeurs, ça donne des résultats visiblement faux, donc tu décides arbitrairement de la faire commencer à 9 (pourquoi 9, pourquoi pas 8 ou 10, qui vont donner des résultats plus ou moins similaires, mais décalés vers le haut ou vers le bas) , et tu t'étonnes de voir que cette loi géométrique ne coïncide pas avec l'expérience. Ca ne mène nulle part.

Tu ne fais pas des maths ni des stats, tu inventes tes propres théories, qui ne marchent pas.

Le dernier test de aléa :
Expérience unitaire : on lance une pièce 200 fois de suite et on compte la plus longue série de Piles. p= 6 par exemple
Puis on répète cette expérience 10 millions de fois. Et on compte combien de fois on a p=0, p=1 ... p=200.

p=0 , ça voudrait dire que les 200 fois, la pièce a donné Face : jamais arrivé dans l'expérience.
p=1 ou p=2 : idem, jamais arrivé dans l'expérience.
p=3 : arrivé 6937 fois sur les 10Millions. Rare, mais pas rarissime.
etc
p=25 : arrivé 3 fois , rarissime.
p=26 : jamais arrivé, mais en recommençant, ça peut arriver.
Dans 99.9% des cas, on a p<13 si je lis bien.