Chaîne de Markov

Bonjour j'ai un problème avec une propriété des chaînes de [large]M[/large]arkov la voici.
On dit que $(X_n)_n $ est une chaîne de [large]M[/large]arkov d'espace d'état $E$ si pour tout $n\in\mathbb {N}$ et tout $x_0,\ldots,x_{n-1},\,i,\,j\in E$ on a
$P (X_{n+1}=j/X_0=x_0,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1},X_n=i)=P (X_{n+1}=j/X_n=i)$.
On veut montrer que pour tout $m\in\mathbb {N}^*$ on a
$P (X_{n+m}=j/X_0=x_0,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1},X_n=i)=P (X_{n+m}=j/X_n=i)$.
Je raisonne par récurrence mais je bute à un niveau. Afin de mieux vous présenter mon problème je vais prendre $m=2$.
Comme $(X_n)_n $ est une C.M on a:
\begin{align*}
P(X_{n+2}=j&/X_0=x_0,\ldots, X_{n-1} =x_{n-1},X_n=i)\\
&=\sum_{x_{n+1}\in E}P (X_{n+2}=j,X_{n+1}=x_{n+1}/X_0=x_0,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1},X_n=i)\\
&=\sum_{x_{n+1}\in E}P (X_{n+2}=j/X_{n+1}=x_{n+1},X_0=x_0,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1},X_n=i,X_{n+1}=x_{n+1})\\
&\qquad \quad P (X_{n+1}=x_{n+1}/X_0=x_0,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1},X_n=i)\\
&=\sum_{x_{n+1}\in E}P (X_{n+2}=j/X_{n+1}=x_{n+1})P (X_{n+1}=x_{n+1}/X_n=i).

\end{align*} Je bloque à ce niveau, car j'aimerais dire que :
$P(X_{n+2}=j/X_{n+1}=x_{n+1})P (X_{n+1} =x_{n+1}/X_n=i) =P(X_{n+2} =j,X_{n+1} =x_{n+1}/X_n=i)$.
Merci d'avance pour votre aide.

[Même dans le titre Andreï A. Markov (1856-1922) prend toujours une majuscule. AD]