Tribu non borélienne
Bonjour,
On définit la tribu borélienne sur un espace topologique (X,t) comme la tribu qui est engendrée par la topologie t. Quelqu'un aurait-il des exemples de tribus non boréliennes sur R et plus généralement sur un ensemble infini X quelconque ?
Merci d'avance !
On définit la tribu borélienne sur un espace topologique (X,t) comme la tribu qui est engendrée par la topologie t. Quelqu'un aurait-il des exemples de tribus non boréliennes sur R et plus généralement sur un ensemble infini X quelconque ?
Merci d'avance !
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Réponses
\[
\{A \subset \R : \mathrm{Card} (A) = \mathrm{Card} (\N) \text{ ou } \mathrm{Card} (A^C) = \mathrm{Card} (\N) \}
\]
n'est pas non plus ta tribu borélienne. La tribu de Lebesgue, qui est la complétée de la tribu de Borel, en est encore une autre.
Je me suis peut-être mal exprimé mais la tribu triviale sur un ensemble X est toujours la borélienne de la topologie triviale sur X, P(R) est la borélienne de la topologie discrète sur R, et la tribu codénombrable sur R est la borélienne de la topologie cofinie sur R.
En revanche, pour la tribu de Lebesgue je ne sais pas.
Comment montrer qu'aucune topologie n'engendre la tribu de Lebesgue ?
Cette deuxième question est plus compliquée. D'ailleurs pour la tribu de Lebesgue cela va dépendre. Un résultat célèbre de Solovay affirme, en un certain sens, que sans l'axiome du choix tous les sous-ensembles de $\R$ sont mesurables. Je n'ai jamais vu de système qui engendrerait la tribu de Lebesgue en fait... Tout ce que je peux dire c'est que si $A$ engendre $\mathscr L(\R)$ alors $A$ doit avoir le même cardinal que $\mathcal P(\R)$.
Et je pense que la tribu engendrée par cette topologie est la tribu de Lebesgue.
Un résultat célèbre de Solovay affirme, en un certain sens, que sans l'axiome du choix tous les sous ensembles de $\R$ sont mesurables.
Je ne suis pas vraiment sur d'avoir le droit fais mais est-il possible de considérer l'ensemble des parties de $\R$ définissables sans l'axiome du choix ?
Et si oui, cet ensemble formerait-il une topologie sur $\R$ ? (intuitivement j'ai envie de dire qu'une union quelconque d'ensembles définissables dans ZF reste un ensemble définissable dans ZF, et de même pour une intersection quelconque ou finie)
Et dans le cas ou tout ce que je fais a un sens, la tribu engendrée par ma topologie ne serait-elle pas la tribu de Lebesgue ?
Je ne suis pas logicien mais je suis à peu près sûr que non, on n'a pas le droit :-D
L'ensemble sera stable par intersection quelconque et par union finie donc definit une topologie (par les fermés) sur R, et cette fois la tribu engendrée par cette topologie sera bien la tribu de Lebesgue (enfin je crois).
Les ensembles negligeables sont stables par intersection quelconque mais les ensembles de mesure finie je ne sais pas ...
Si $A$ est une partie non mesurable bornée de $\mathbb R$ (dont l'existence est garantie dès qu'il existe une partie non mesurable de $\mathbb R$), disons $A \subset [-R, R]$ alors $A = (A^c)^c = \Big(\displaystyle \bigcup_{x \not \in A} \{x\}\Big)^c = \bigcap_{x \not \in A} \mathbb R \setminus \{x\} = \bigcap_{x \not \in A} [-R, R] \setminus \{x\}$ et chaque élément de cette intersection est mesurable de mesure finie.
Bon ducoup je n'ai toujours pas de réponses à ma question ... La tribu de Lebesgue pourrait être un potentiel contre-exemple mais comment montrer qu'aucune topologie ne l'engendre ? (si c'est le cas)
Je pense qu'on peut montrer au moins la chose suivante : si $\mathcal T$ est une topologie sur $\mathbb R$ telle que $\mathcal L = \mathcal B(\mathcal T)$ alors toute base de $\mathcal T$ a le cardinal de $\mathcal P(\mathbb R)$. Sinon, je pense que la démonstration usuelle du fait que la tribu borélienne a même cardinal que $\mathbb R$ permettrait d'obtenir que $\mathcal B(\mathcal T)$ a un cardinal strictement plus petit que celui de $\mathcal P(\mathbb R)$.
Désolé de répondre si tardivement.
J'ai eu une idée d' ensemble qui engendrerait la tribu de Lebesgue mais je n'arrive ni à montrer que c'est une topologie, ni que ça n'en est pas une.
Je considère F l’ensemble des fermés de R muni de la topologie usuelle et N l'ensemble des ensembles négligeables pour la mesure de Lebesgue.
Alors T = {A U B, A dans F et B dans N } est un ensemble qui engendre la tribu de Lebesgue qui contient R, l'ensemble vide, et qui est stable par union finie.
Mais je n'arrive ni à montrer qu'il est stable par intersection quelconque, ni à trouver de contre-exemple ...
Encore merci
J'ai fini par trouver des réponses à mes questions !
Pour ceux que ça intéresse :
- tribu non borélienne pour des exemples de tribus non boréliennes.
- la tribu de Lebesgue est borélienne pour voir que la tribu de Lebesgue est la tribu borélienne d'une certaine topologie.
Encore merci à tous ceux qui ont essayé de m'aider.
Bonne continuation !